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Hemmes mathematische Rätsel: Die sechs Häuser

Sechs Häuser stehen an einer Ringstraße und haben jeweils unterschiedliche Abstände voneinander. Was sind die möglichen Abstände?
Eine schöne Illustration, wie die Bewertung einer Szene vom Kontext abhängen kann: Diese atemberaubende Wüstenlandschaft zum Beispiel macht nur halb so viel Spaß, wenn einem grad die Karre liegengeblieben ist und man jetzt mit dem Kanister in der Hand zur nächsten Tanke laufen muss.

Henry Ernest Dudeney war wohl der bedeutendste Rätselerfinder Englands. Er wurde 1857 in Mayfield geboren und starb 1930. Dudeney entwarf über Jahrzehnte für zahlreiche Zeitungen regelmäßig Denksportprobleme. Die meisten seiner Rätsel fasste er später auch zu Büchern zusammen. Im Januar 1921 stellte er im »Strand Magazine« seinen Lesern ein Rätsel mit dem Titel »The six cottages«. Vier Jahrzehnte später verbesserte der amerikanische Mathematiker Michael Goldberg das Problem und veröffentlichte seine Version im September 1965 in der Zeitschrift »American Mathematical Monthly«.

In einer einsamen Gegend stehen sechs kleine Landhäuser. Sie sind durch eine Straße miteinander verbunden, die ein perfekter Kreis von 31 Meilen Umfang ist. Von jedem der sechs Häuser zu jedem anderen fünf Häuser kann man auf nur zwei Wegen gelangen: Entweder fährt man im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn die Straße entlang. Somit gibt es 6×5 = 30 Wege von Haus zu Haus. Wie es der Zufall will, sind diese Wege alle unterschiedlich lang und haben außerdem alle eine ganzzahlige Länge in Meilen.

Welche Abstände haben die Häuser voneinander? (Es gibt mehrere Lösungen.)

Die beiden Häuser mit dem kleinsten Abstand liegen eine Meile auseinander. Gleichzeitig haben sie auch die größte Entfernung voneinander, wenn man die Straße in umgekehrter Richtung fährt. Das nächste Haus muss im oder gegen den Uhrzeigersinn mindestens zwei Meilen von beiden ersten Häusern entfernt sein, weil sonst der Abstand von einer Meile doppelt vorkäme. Nun kann man durch systematisches Probieren schnell die Lösungen finden. Insgesamt gibt es fünf Lösungen, wenn man die, die durch Drehungen oder Spiegelungen ineinander übergehen, nicht als verschieden zählt. Eine davon ist in der Abbildung skizziert, wobei die roten Punkte die Häuser markieren.

Die sechs Häuser

Die Abstände der Häuser bei den anderen vier Lösungen sind (1, 2, 7, 4, 12, 5), (1, 3, 2, 7, 8, 10), (1, 3, 6, 2, 5, 14) und (1, 7, 3, 2, 4, 14).

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