Hemmes mathematische Rätsel: Die Streichholztanne
Der 1962 in der Schweiz geborene Italiener A. Sarcone schreibt für etliche Zeitungen und Zeitschriften Kolumnen über optische Rätsel und mathematische Denksportaufgaben. Er hat zahlreiche Bücher verfasst, darunter viele über optische Illusionen. 1995 gründete er gemeinsam mit Marie-Jo Waeber »Archimedes' Laboratorium«, das die beiden seither gemeinsam betreiben. »Archimedes' Laboratorium« ist ein Projekt zur Förderung der Kreativität und setzt dafür auch viele mathematische Knobeleien ein. Alle Seiten sind auf Englisch, aber viele Teile sind auch auf Deutsch, Italienisch und Französisch erhältlich. Zwei regelmäßige Kolumnen des Laboratoriums sind das »Sunday Puzzle« und das »Puzzles of the Month«. Am 3. November 2013 veröffentlichten Sarcone und Waeber ihr 34. »Sunday Puzzle«. Es war ein Streichholzrätsel, das für Spektrum geringfügig verändert worden ist.
Wie groß ist der Winkel zwischen den beiden Streichhölzern an der Spitze der Tanne? Alle Streichhölzer sollen dabei idealisiert als gleich lang und vom Durchmesser null angenommen werden. Sie liegen mit ihren Enden genau aneinander.
Drei der sechs schräg verlaufenden Streichhölzer liegen symmetrisch zu den anderen drei Hölzern in der Tanne. Lässt man sie fort, vereinfacht sich die Zeichnung.
Die roten Linien entsprechen Streichhölzern und sind folglich gleichlang. Sie bilden zusammen mit den schwarzen Linien die vier gleichschenkligen Dreiecke ABC, BCD, CDE und DAE.
In gleichschenkligen Dreiecken sind die beiden Winkel an der Grundseite stets gleich groß. Und da die Winkel eines jeden Dreiecks zusammen 180° ergeben, muss der Winkel ABC = 180° − 2x betragen.
Die Winkel ABC und CBD ergänzen sich zu 180°. Folglich ist CBD = 180° − (180° − 2x) = 2x. Somit muss auch der Winkel BDC = 2x sein.
Die beiden Winkel ADE und AED betragen jeweils (180° − x)/2. Damit muss auch der Winkel DCE die Größe (180° − x)/2 haben, was wiederum zu CDE = 180° − 2(180° − x)/2 = x führt. Somit sind die beiden Winkel ADE und AED jeweils 3x groß und die Winkelsumme der Dreieck ADE beträgt 7x = 180°.
Also beträgt der gesuchte Winkel x = 180°/7 ≈ 25,7°.
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