Hemmes mathematische Rätsel: Die Summe der Würfelzahlen
Henry Ernest Dudeney (1857–1930) war wohl der bedeutendste Rätselerfinder, der jemals lebte. Er entwarf über Jahrzehnte für zahlreiche Zeitungen und Magazine regelmäßig Denksportprobleme. Aus seinem Buch »Amusements in Mathematics«, das 1917 erschien, stammt das folgende Rätsel.
Auf den Seitenflächen von vier Würfeln sind die Zahlen, anders als üblich, nicht durch Augen, sondern durch gewöhnliche arabische Zahlen von 1 bis 6 dargestellt. Die Würfel lassen sich so aneinanderlegen, dass die vier Vorderseiten eine vierstellige Zahl bilden. In dem Beispiel ist es 1416.
Wie groß ist die Gesamtsumme aller vierstelligen Zahlen, die sich auf diese Weise darstellen lassen und deren Ziffern alle verschieden sind?
Mit jedem der Würfel kann man nicht nur sechs, sondern sogar sieben verschiedene Ziffern darstellen, denn aus der 6 wird, wenn man sie auf den Kopf stellt, eine 9. Für die erste Stelle gibt es somit sieben verschiedene Möglichkeiten.
Da alle Ziffern verschieden sein müssen, bleiben für die zweite Stelle noch sechs Möglichkeiten übrig. Für die dritte Stelle sind es dann noch fünf und für die vierte Stelle vier. Zu jeder der sieben Ziffern auf der ersten Stelle gehören also 6 · 5 · 4 = 120 verschiedene Zahlen.
Folglich ist die Summe aller Einerstellen aller möglichen Zahlen (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 9) · 120 = 3600. Die Summe alle Zehnerstellen beträgt somit 36 000, die aller Hunderterstellen 360 000 und die aller Tausenderstellen 3 600 000. Die gesuchte Gesamtsumme hat folglich den Wert 3600 + 36000 + 360000 + 3600000 = 3 999 600.
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