Hemmes mathematische Rätsel: Die Triangulation des Rechtecks
Der Mathematiker James Alston Hope Hunter (1902–1986) aus Toronto in Kanada hat mehr als ein halbes Dutzend Bücher mit selbst erfundenen mathematischen Denksportaufgaben veröffentlicht. Alle Probleme sind in kleine Geschichten gekleidet und oft sogar in Versform gebracht worden. Seine Bücher waren sehr erfolgreich und wurden immer wieder neu aufgelegt. Die vier Bände »Challenging Mathematical Teasers«, »Entertaining Mathematical Teasers and How to Solve Them«, »Mathematical Brain-Teasers« und »Mathematical Diversions« sind sogar noch heute erhältlich. 1963 veröffentlichte er in der Zeitschrift »The Fibonacci Quarterly« folgendes Problem:
Ein Rechteck hat eine lange Seite der Länge 1 und eine kurze Seite der Länge x, wobei x ein beliebiger Wert zwischen 0 und 1 ist. Das Rechteck wird so, wie es die Abbildung zeigt, in vier Dreiecke unterteilt. Dabei sollen die drei grünen Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben. Wie groß sind die Seitenverhältnisse a : b und c : d der grünen Dreiecke in Abhängigkeit von Seitenlänge x des Rechtecks?
Die grünen Dreiecke sind rechtwinklig. Darum sind ihre Flächeninhalte jeweils das halbe Produkt ihre Kathetenlängen. Da die Inhalte des unteren Dreiecks, des linken Dreiecks und des rechten Dreiecks gleich sein sollen, gilt 1⁄2c(a+b) = 1⁄2a(c+d) = 1⁄2bd.
Die erste Gleichung kann man zu b/a = d/c umformen. Dieses Seitenverhältnis kürzen wir mit Φ ab. Auch die zweite Gleichung kann man so umformen, dass in ihr nur die Seitenverhältnisse Φ auftreten: b/a = c/d + 1 oder Φ = 1/Φ + 1. Multipliziert man beide Seiten mit Φ und bringt alle Terme auf eine Seite des Gleichheitszeichens, erhält man Φ2 – Φ – 1 = 0.
Diese quadratische Gleichung als positive Lösung den Wert Φ = 1⁄2(1 + √5) ≈ 1,618. Dieses Verhältnis ist der in der Kunst, der Architektur und der Mathematik berühmte Goldene Schnitt. Die Länge x der kurzen Rechteckseite spielt dabei übrigens keine Rolle.
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