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Hemmes mathematische Rätsel: Die verflixte Dreizehn

Eine Liste aus fünfhundert Zahlen; nach jedem Schritt eliminiert man einige davon – welche Zahlen bleiben am Ende übrig?
Zahlen

Die Mathematical Association of America (MAA) ist eine Vereinigung US-amerikanischer Mathematiker, die sich um die Mathematikausbildung an Schulen und Hochschulen bemühen. Die Anfänge gehen zurück auf Benjamin Finkel (1865–1947), der 1894 die Zeitschrift American Mathematical Monthly gründete. Die MAA gibt seit vielen Jahren Sammlungen mathematischer Probleme heraus, von denen auch viele aus dem Bereich der Unterhaltungsmathematik stammen. Im Jahre 2002 erschien die MAA-Aufgabensammlung »The Inquisitive Problem Solver« des polnisch-schwedischen Mathematikers Paul Vaderlind (* 1948), des britisch-kanadischen Mathematikers Richard K. Guy (* 1916) und des US-amerikanischen Mathematikers Loren C. Larson (* 1937), aus der das heutige Rätsel stammt.

Schreiben Sie alle ganzen Zahlen von 1 bis 500 auf ein Blatt Papier. Wählen Sie dann zwei, drei, vier oder fünf dieser Zahlen aus, addieren sie und teilen die Summe durch 13. Streichen Sie danach die ausgewählten Zahlen und fügen dafür den Divisionsrest der Liste hinzu. Dieses Verfahren wiederholen Sie so oft, bis nur noch zwei Zahlen auf Ihrem Blatt stehen. Wenn eine dieser beiden Zahlen 102 ist, welches ist dann die andere?

Wenn man natürliche Zahlen addiert und die Summe durch \(T\) teilt, bekommt man einen Divisionsrest \(R\). Man kann die Zahlen aber auch zuerst in mehrere Gruppen aufteilen, sie dann in jeder Gruppe addieren und diese Teilsummen durch \(T\) teilen. Addiert man alle diese Divisionsreste und teilt das Ergebnis durch \(T\), bekommt man stets denselben Rest \(R\) wie bei der ersten Methode.

In der Liste aus der Aufgabe gibt es zu Anfang zwölf Zahlen, die kleiner sind als 13. Durch jeden Schritt verschwinden zwar einige Zahlen der Liste, aber es wird immer wieder eine Zahl, die kleiner ist als 13, hinzugefügt. Dadurch gibt es immer mindestens eine Zahl kleiner 13 auf der Liste. Die Summe der Zahlen von 1 bis 500 beträgt \(\frac{500\cdot 501}{2}=125\ 250.\) Teilt man sie durch 13, bleibt ein Divisionsrest von 8 übrig. Da eine der beiden letzten Zahlen der Liste 102 ist, muss die andere Zahl \(X\) kleiner als 13 sein. Der Divisionsrest von \(\frac{102+X}{13}\) muss 8 ergeben. Dies ist nur bei \(X=10\) der Fall.

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