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Hemmes mathematische Rätsel: Die verflixte Sieben

Wie viele ganze Zahlen von 1 bis 1 000 000 000 enthalten mindestens eine Ziffer 7?
Zahlenspirale

Der Wissenschaftsjournalist Greg Ross betreibt seit 2005 eine Internetseite mit dem Titel »Futility Closet«, die er als eines Müßiggängers Sammlung von kurzgefasstem Zeitvertreib bezeichnet. Seine Sammlung enthält mehr als neuntausend Kuriositäten aus den Bereichen Geschichte, Literatur, Sprache, Kunst, Geografie, Philosophie und Mathematik. Darunter ist auch ein Schatz von über tausend Denksportaufgaben. Ross' Sammlung wächst von Tag zu Tag und inzwischen sind auch zwei Bücher daraus entstanden.

Im Oktober 2015 veröffentlichte er folgendes Problem: Wie viele von den ganzen Zahlen von 1 bis 1 000 000 000 enthalten mindestens eine Ziffer 7?

Wir berechnen zunächst einmal, wie viele Zahlen von 1 bis 999 999 999 keine Ziffer 7 enthalten. Dazu füllen wir jede Zahl mit so vielen führenden Nullen auf, bis sie neun Stellen hat. So wird beispielweise aus der 13 die Zahl 000 000 013. Geändert hat sich dadurch an der Aufgabe gar nichts.

Wenn keine 7 in einer Zahl vorkommen soll, gibt es für jede Stelle die neun Möglichkeiten 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 und 9. Insgesamt gibt es folglich 99 Zahlen, die keine Ziffer 7 enthalten. Wir haben nun allerdings eine Zahl zu viel gezählt, nämlich die 000 000 000, die nicht in dem Bereich liegt, dafür jedoch die 1 000 000 000 nicht betrachtet. Da in beiden Zahlen keine 7 vorkommt, gleicht sich das wieder aus.

Daraus folgt, dass 109 – 99 = 612 579 511 der ersten Milliarden Zahlen mindestens eine Ziffer 7 enthalten. Das ist deutlich mehr als die Hälfte.

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