Hemmes mathematische Rätsel: Die vertauschten Uhrzeiger
1869 gründete J. C. V. Hoffmann die »Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht«. Ab 1874 gab es in ihr eine Kolumne mit dem Titel »Aufgaben-Repertorium«, in der von Lesern Probleme aus allen Bereichen der Schulmathematik gestellt und auch gelöst wurden. Es erschienen auch zahlreiche Probleme der Unterhaltungsmathematik, so wie dieses, das 1884 erschien und aus der französischen Zeitschrift »Journal de mathématiques élémentaires et spéciales« übernommen wurde.
Bei einer Uhr hat jemand heimlich Stunden- und Minutenzeiger gegeneinander vertauscht. Wenn man das nicht weiß, erscheinen die meisten Zeigerstellungen unsinnig. Um drei Uhr würde beispielsweise der Stundenzeiger auf der 12 und der Minutenzeiger auf der 3 stehen. So eine Zeigerstellung kann aber bei einer normalen Uhr nicht vorkommen. Doch in einigen Fällen ist es möglich, dass – wenn auch meist die falsche Zeit angezeigt wird – die Stellung der beiden Zeiger auch bei einer normalen Uhr auftreten könnte. Wie viele dieser Zeigerstellungen gibt es?
Betrachtet man zunächst eine normale Uhr. In der Zeit, in der der Stundenzeiger sich auf dem Zifferblatt von einer Zahl zur nächsten bewegt, macht der Minutenzeiger eine ganze Runde. Anders ausgedrückt: Zu jeder beliebigen Stellung des Minutenzeigers gibt es zwischen jedem Paar benachbarter Zahlen eine dazugehörige Stellung des Stundenzeigers.
Nun betrachtet man vertauschte Zeiger. Der sich nun schnell bewegende Stundenzeiger überstreicht, wenn er sich von einer Zahl zur nächsten bewegt, immer gerade einen Punkt, der mit dem jetzt langsam gehenden Minutenzeiger eine sinnvolle Stellung ergibt.
In einer Stunde gibt es folglich zwölf und in einem vollständigen Uhrenzyklus (also in zwölf Stunden) 12 · 12 = 144 sinnvolle Zeigerstellungen. Die identischen Zeigerstellungen von 0.00 Uhr und 12.00 Uhr darf man allerdings nur einmal zählen, wodurch sich letztlich nur 143 zulässige Zeigerstellungen ergeben.
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