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Hemmes mathematische Rätsel: Die vierundzwanzigste Zahl

Bildet man aus 4 Ziffern 24 vierstellige Zahlen und summiert 23 von ihnen, erhält man 122??0. Wie lautet die 24. Zahl?
Zahlen

Das populärwissenschaftliche britische Magazin New Scientist erscheint seit 1956 jede Woche. Von 1967 bis 1977 enthielt es die Kolumne Tantalizer (= Peiniger) mit mathematischen und logischen Rätseln, die von Martin Hollis geschrieben wurden. Abgelöst wurden die Tantalizers von den Puzzles, die zwischen Mai 1977 und Februar 1979 wöchentlich im New Scientist erschienen. Seit dem 22. Februar 1979 findet man in dem Magazin eine Denksportkolumne mit dem Titel Enigma (= Rätsel), die einige Jahre lang von Eric Emmet, Martin Hollis und Stephen Ainley geschrieben wurde. Die Kolumne lief fast 35 Jahre lang, wenn auch die Autoren mehrfach wechselten. Am 28. Dezember 2013 erschien das letzte Enigma. Es war das 1780. Rätsel in dieser Kolumne. Am 25. Juli 2005 stellte Bob Walker, der etliche Dutzend Enigmas entwarf, den Lesern des New Scientist das folgende Rätsel:

Ich habe vier verschiedene Ziffern gewählt. Daraus lassen sich 24 verschiedene vierstellige Zahlen bilden, die auch mit einer 0 beginnen dürfen. 23 dieser 24 Zahlen habe ich addiert und die Summe 122**0 erhalten. Die beiden Stellen, die ich durch Sternchen dargestellt habe, verrate ich Ihnen nicht. Wie lautet die 24. Zahl?

Jede der vier Ziffern a, b, c und d kommt bei den vierundzwanzig verschiedenen Zahlen jeweils sechs Mal als Tausender-, als Hunderter-, als Zehner- und als Einerziffer vor. Somit gilt für die Summe aller vierundzwanzig Zahlen S = 6666(a + b + c + d).

Da S die Summe aus 122**0 und der gesuchten vierundzwanzigsten Zahl Z ist, muss S mindestens 122000 + 0123 = 122123 und kann höchstens 122990 + 9876 = 132866 sein.

Das einzige ganzzahlige Vielfache von 6666 in diesem Bereich ist 19 ∙ 6666 = 126654. Somit gilt 122**0 + Z = 126654. Dabei kann Z nicht kleiner als 3664 und nicht größer als 4654 sein. Da die letzte Ziffer von Z auf jeden Fall eine 4 ist, kann die erste nur eine 3 sein. Die Summe der vier Ziffern von Z ist 19. Folglich müssen die beiden mittleren Ziffern zusammen 12 ergeben. Dies ist nur mit 5 und 7 möglich, da die beiden anderen Kombinationen die schon vergebenen Ziffern 3 und 4 enthalten. Eine kleine Probe ergibt, dass die gesuchte vierundzwanzigste Zahl 3754 sein muss.

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