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Hemmes mathematische Rätsel: Die Weizenteilung

Ein Mann verteilt 100 Scheffel Getreide unter 100 Angehörige. Jeder Mann erhält 3, jede Frau 2 und jedes Kind 1/2 Scheffel. Aus wie vielen Männern, Frauen und Kindern besteht die Familie?
Getreidefeld

Im 9. Jahrhundert entstand im Frankenreich ein Manuskript mit dem Titel »Propositiones ad acuendos iuvenes«. Es ist die älteste mathematische Aufgabensammlung in lateinischer Sprache. Der Autor dieses Manuskripts ist unbekannt, aber es spricht vieles dafür, dass es von Alkuin von York (ca. 732–804) geschrieben wurde, einem englischen Gelehrten, der von 781 bis 796 am Hof Karls des Großen in Aachen lebte. Die Propositiones bestehen aus 56 Aufgaben, von denen die meisten zur Unterhaltungsmathematik gehören. Bei der 34. Aufgabe geht es um die Verteilung von Weizen.

Ein Hausherr verteilt 100 Scheffel Getreide unter den 100 Mitgliedern seiner Familie. Dabei bekommt jeder Mann drei Scheffel, jede Frau zwei Scheffel und jedes Kind einen halben Scheffel. Aus wie vielen Männern, Frauen und Kindern besteht die Familie?

Bezeichnet man die Anzahl der Männer mit M, die der Frauen mit F und die der Kinder mit K, gilt für die Personenzahlen M + F + K = 100 und für die verteilten Scheffel Weizen 3M + 2F + 12K = 100. Stellt man die erste Gleichung nach K um und setzt sie in die zweite ein, erhält man nach einigen Umformungen F = 5(20 − M)/3. Da F ganzzahlig ist, muss der Klammerausdruck ein Vielfaches von 3 sein, denn sonst lässt sich der Bruch nicht kürzen. Das bedeutet, M kann nur eine der sieben Zahlen 2, 5, 8, 11, 14, 17 und 20 sein. Daraus ergeben sich sieben verschiedene Lösungen, worunter auch soziale Katastrophen wie Haushalte mit 17 Männern, 5 Frauen und 78 Kindern zu finden sind. Mit der Abkürzung (M, F, K) für einen Haushalt lauten die Lösungen (2, 30, 68), (5, 25, 70), (8, 20, 72), (11, 15, 74), (14, 10, 76), (17, 5, 78) und (20, 0, 80).

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