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Hemmes mathematische Rätsel: Die Zahl der Schafe

Ein Mann fragt einen Schäfer, wie viele Schafe er hat. »Wenn ich zu 4/5 meiner Herde 4/5 eines Schafs hinzunehme, erhalte ich die Größe meiner Herde.« Wie viele Schafe hat er?
Schafherde in Südafrika

Thomas Jahre ist Lehrer für Mathematik, Physik und Informatik am Chemnitzer Schulmodell. Seit einigen Jahren schreibt er regelmäßig einen Newsletter mit dem Titel Wochenaufgabe, der mathematische Knobeleien enthält. Er wird von Schülerinnen und Schülern in allen deutschsprachigen Ländern Europas gelesen. Die Aufgaben sind auch unter der Adresse http://schulmodell.eu/wochenaufgabe.html im Internet zu finden. Hier ist seine leicht veränderte 348. Wochenaufgabe.

Ein Mann fragt einen Schäfer, wie viele Schafe er habe. Der Schäfer antwortet: »Wenn ich zu 45 meiner Herde noch 45 eines Schafes hinzunehme, erhalte ich die Größe meiner Herde.« Wie viele Schafe hat der Schäfer?

Der Schäfer ist kein Metzger: Seine Herde besteht tatsächlich nur aus vollständigen Schafen. Bezeichnet man die Anzahl seiner Schafe mit N, lässt sich die Behauptung des Schäfers durch die Gleichung 45 N + 45 = N wiedergeben. Löst man sie auf, erhält man einer Herdengröße von N = 4 Schafen.

Nun kann man sich die Frage stellen, ob es außer 45 noch andere Brüche ab gibt, sodass ab N + ab = N ist, wobei N eine ganze Zahl sein soll. Es gibt tatsächlich noch unendlich viele solcher Brüche. Löst man die Gleichung nach dem Bruch auf, erhält man ab = N/(N + 1). Das heißt, jeder Bruch, bei dem der Nenner um 1 größer ist als der Zähler, hat diese Eigenschaften. Der Zähler hat dabei den Wert von N.

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