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Domino

Treitz-RätselLaden...
Domino-Steine zeigen die verschiedenen Kombinationen (mit erlaubter Wiederholung) von zwei aus n Zahlen. Bei der kleinen Version ist n = 7 (dargestellt mit 0 bis 6 Würfel-Augen), bei größeren auch 9 oder 10 (0 bis 8 oder 9 Augen).

Aus wie vielen Steinen besteht ein Spiel mit einem bestimmten Wert von n (d. h. mit 0 bis n–1 Augen)?

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Dieses Rechteck aus 7 mal 8 Steinen enthält zwei ganze Spielsätze, die Antwort ist also 28 für das kleine Spiel. Allgemein hat die Summe der Zahlen von 1 bis n (denn um diese handelt es sich hier) den Wert n·(n+1)/2. Carl Friedrich Gauß hat das als kleiner Schüler bekanntlich ganz ähnlich herausgefunden, als der Lehrer die Kinder mit der Berechnung der Summe der Zahlen von 1 bis 100 beschäftigen wollte (50 ·101 = 5050).

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Und weil es so schön aussieht, auch noch die 55 Dominosteine mit 0 bis 9 Augen:

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Kann man einen vollen Satz zu einem geschlossenen Kreis so zusammenfügen, dass immer gleiche Zahlen aneinanderstoßen? Wie hängt die Antwort von n ab?

Zusatzantwort

Diese Graphen zeigen in den Knoten (den Ecken der Polygone) die Augenzahlen, jede Kante bedeutet einen Dominostein, die Kreisbögen außen einen mit zwei gleichen Zahlen.

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Eine Kette soll die Steine mit je zwei gleichen Enden aneinanderfügen, sie wird also durch einen ununterbrochenen Linienzug im Graphen dargestellt, der jeden (blau gezeichneten) Knoten mindestens einmal trifft. Wenn alle Steine aufgebraucht werden sollen, muss jede Linie (einschließlich der Kreisbögen) genau einmal durchlaufen werden.

Ein Knoten, der eine ungerade Zahl von Linien hat, kann nur am Anfang oder Ende einer Kette stehen (siehe auch Rätsel 31 "Kreuzungsfreier Rundweg". Gibt es mehr als 2 solche Knoten, kann eine einzige Kette nicht alle Kanten durchlaufen, und gibt es mehr als 0 "ungerade" Knoten, so gibt es keine Kette, die vollständig und geschlossen ist. Das ist genau bei geradzahligem n (z. B. für 0 bis 5 oder für 0 bis 9 Augen) der Fall.

Ob es bei ungeradem n eine vollständige geschlossene Kette geben kann, ist damit noch nicht geklärt. Es ist aber leicht zu machen: Man beginnt z. B. bei 0 und läuft erst einmal auf den Polygonseiten einmal herum. Dabei nimmt man bei jeder Ecke die Schleife für die Steine mit zwei gleichen Augen mit. Dann ist man wieder bei 0. Nun läuft man über die Diagonalen, die je eine Seite überspringen, und kommt nach 2 Umläufen wieder bei 0 an. Entsprechend macht man es mit den nächstgrößeren Diagonalen, bis es keine mehr gibt.

Mit den 28 Steinen des Spiels mit 0 bis 6 Augen sieht das so aus.

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Dabei sind die Steine (und die Kanten) nach der Differenz ihrer Augenzahlen gefärbt: violett für 0, blau für 1 oder 6, rot für 2 oder 5, grün für 3 oder 4. Die oben genannte einfache (sozusagen systematisch auf jeden Fall konstruierbare) Lösung besteht nun darin, erst die violetten und blauen abwechselnd zu setzen, dann die roten und die grünen.

Man kann also bei ungeradem n (0 bis 6 Augen, 0 bis 10 etc.) stets alle Steine zu einem Kreis schließen, bei geradem n geht dieses nie (bei n = 2 mit den drei Steinen (0,0), (0,1) und (1,1) ist die Kette zwar vollständig, aber nicht geschlossen).

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