Hemmes mathematische Rätsel: Doppelt so groß und doch zu klein?
1970 veröffentlichte Aaron J. Friedland in New York ein schmales Büchlein mit dem Titel »Puzzles in Math and Logic«. Es ist eine wunderbare Sammlung von 100 Rätseln, die er selbst erfunden hat. Daraus stammt folgendes Problem:
Zwei Figuren sind im mathematischen Sinn ähnlich, wenn sie zwar verschiedene Größen haben, aber in ihrer Form, ihren Winkeln und Proportionen völlig übereinstimmen. Beispielsweise sind die beiden folgenden Dreiecke einander ähnlich.
Mit dem größeren Dreieck lässt sich das kleinere vollständig abdecken.
Gibt es ähnliche Sechsecke, deren entsprechende Längen im Verhältnis 2:1 stehen, und von denen das größere das kleinere nicht völlig bedecken kann? Wenn nein, warum nicht?
Die meisten Menschen nehmen unwillkürlich an, dass die Sechsecke konvex sein müssen, also keine Einbuchtungen haben dürfen. Das wurde aber in der Aufgabe keineswegs verlangt. Zieht man auch konkave Sechsecke in Betracht, wird die Aufgabe ganz einfach, und es gibt beliebig viele Lösungen. Andernfalls ist sie unlösbar.
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