Direkt zum Inhalt

Hemmes mathematische Rätsel: Drei Zahlen des Zifferblattes

Auf einer Uhr sind drei Zahlen markiert. Verbindet man die drei Zahlen im Uhrzeigersinn gelesen zu einer neuen Zahl, ist diese um 135 größer als ihre Quersumme. Gegen den Uhrzeigersinn ist die neue Zahl um 531 größer. Was sind die drei Zahlen?
Zeichnung einer Hand, die eine Taschenuhr zum Betrachter hält

Die beiden österreichischen Mathematiker Richard Mischak (* 1948) und Gerd Baron (* 1940) lösen mit Begeisterung mathematische Rätsel und Probleme. Seit vielen Jahren schon geben sie ihre Begeisterung an Schulkinder in Seminaren weiter, die sie »Jagd auf Zahlen und Figuren« nennen. Bei dieser Jagd dürfen die Kinder mit der Mathematik spielen. Sie sollen kreative Lösungsansätze finden und nicht unbedingt anwendbares Wissen lernen. Die Jagd begann 1996 in Wien, aber fand schon bald auch in anderen Städten und Ländern statt. Die »Jagd auf Zahlen und Figuren« gibt es auch im Internet unter www.zahlenjagd.at. Unsere heutiges Rätsel ist eine der Aufgaben der Zahlenjagd.

Auf dem Zifferblatt einer Uhr sind drei Zahlen markiert worden. Hängt man die drei Zahlen im Uhrzeigersinn gelesen zu einer neuen Zahl aneinander, so ist diese um 135 größer als ihre Quersumme. Hängt man sie jedoch gegen den Uhrzeigersinn gelesen aneinander, ist die neue Zahl um 531 größer als ihre Quersumme. Welche drei Zahlen sind markiert worden?

In dem unteren Beispiel, das natürlich nicht die Lösung ist, sind die Zahlen 3, 7 und 10 markiert worden. Im Uhrzeigersinn gegeben sie die neue Zahl 3710 und gegen den Uhrzeigersinn 1073. Die Quersumme ist in beiden Fällen 3 + 7 + 1 + 0 = 11.

Drei Zahlen des Zifferblattes

Die größtmögliche Quersumme, die drei Zahlen eines Zifferblatts haben können, ist 7 + 8 + 9 = 24. Da die drei aneinandergehängten Zahlen zwei Zahlen ergeben, die um 135 bzw. 531 größer sind als ihre Quersumme, können diese Zahlen nur dreistellig sein. Die 10, die 11 und die 12 gehören somit nicht zu den markierten Zahlen.

Wenn die drei einstelligen Zahlen im Uhrzeigersinn i, j und k sind, gilt 100i + 10j + k = i + j + k + 135 und 100k + 10j + i = i + j + k + 531. Die beiden Gleichungen lassen sich zu 11i + j = 15 und zu 11k + j = 59 vereinfachen. Aus der ersten Gleichung folgt sofort, dass i = 1 und j = 4 sein muss. Mit j = 4 erhält man aus der zweiten Gleichung k = 5. Die drei markierten Zahlen des Zifferblatts sind also 1, 4 und 5.

Alternativer Lösungsvorschlag:

Ein alternativer Lösungsvorschlag von unserem Leser Manfred Polak lautet wie folgt:

Die Quersumme beider Zahlen liegt zwischen 6 und 24, also muss die erste Zahl größer gleich 141 (= 6 + 135) und kleiner gleich 159 (= 24 + 135) sein. Die zweite Zahl liegt entsprechend zwischen 537 und 555.

Die erste Ziffer der ersten Zahl ist in jedem Fall die 1, also ist das auch die letzte Ziffer der zweiten Zahl. Dafür kommen nur 541 und 551 in Frage. Umgekehrt gilt: Die erste Ziffer der zweiten Zahl ist die 5, also ist die erste Zahl entweder 145 oder 155.

Das Zahlenpaar (155, 551) fällt aber heraus, weil in ihnen die 5 zweimal vorkommt. Also ist (145, 541) das gesuchte Paar.

Schreiben Sie uns!

Beitrag schreiben

Wir freuen uns über Ihre Beiträge zu unseren Artikeln und wünschen Ihnen viel Spaß beim Gedankenaustausch auf unseren Seiten! Bitte beachten Sie dabei unsere Kommentarrichtlinien.

Tragen Sie bitte nur Relevantes zum Thema des jeweiligen Artikels vor, und wahren Sie einen respektvollen Umgangston. Die Redaktion behält sich vor, Zuschriften nicht zu veröffentlichen und Ihre Kommentare redaktionell zu bearbeiten. Die Zuschriften können daher leider nicht immer sofort veröffentlicht werden. Bitte geben Sie einen Namen an und Ihren Zuschriften stets eine aussagekräftige Überschrift, damit bei Onlinediskussionen andere Teilnehmende sich leichter auf Ihre Beiträge beziehen können. Ausgewählte Zuschriften können ohne separate Rücksprache auch in unseren gedruckten und digitalen Magazinen veröffentlicht werden. Vielen Dank!

Partnerinhalte