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Dreieck in ähnliche zerlegen

Treitz-Rätsel

In wie viele zu ihm selbst ähnliche (d. h. winkelgleiche) Dreiecke kann man ein beliebiges Dreieck zerschneiden, in wie viele ein rechtwinkliges und in wie viele das gleichschenklig-stumpfwinklige mit den Winkeln 30o, 30o und 120o?

für ein beliebiges Dreieck:

Die Aufteilung durch Schnittlinien entlang der Mittelparallelen gelingt bei jedem Dreieck und führt zunächst zu vier Dreiecken. Die sind nicht nur zum ganzen ähnlich, sondern untereinander auch noch deckungsgleich und damit natürlich auch flächengleich (das mittlere in der Ebene gedreht, die anderen sogar in reiner Streckungslage).

Da aber nur Ähnlichkeit und nicht Kongruenz verlangt ist, kann man beliebig viele der Teile nach dem gleichen Rezept weiter teilen und bekommt jedesmal 3 Teile mehr (da nämlich ein Dreieck durch 4 kleinere ersetzt wird). Man kann ein jedes Dreieck also in 4, 7, 10, 13, 16 … Teile teilen, die allesamt zum ganzen ähnlich sind.

Wenn jemand nun doch Teile haben möchte, die auch noch untereinander gleich groß sind, so geht das in 4, 16, 64, 256 … Teile, die möglichen Zahlen der Teile sind also die Potenzen von 4 mit natürlichen Exponenten.

Es sei nicht verschwiegen, dass man aber auch z. B. 16 oder 64 ungleich große Teile machen kann, die trotzdem zueinander und zum ganzen Dreieck ähnlich sind.

Lösung zum rechtwinkligen Dreieck

Jedes rechtwinklige Dreieck lässt sich entlang seiner Höhe (gemeint ist natürlich genau die Höhe, die nicht zugleich eine Seite ist) in zwei zu ihm ähnliche zerschneiden. Da man das beliebig fortsetzen kann, kann die Zahl der Teil-Dreiecke jede natürliche Zahl sein.

Lösung zum 30-30-120-Dreieck

Wie jedes andere Dreieck lässt sich dieses spezielle Dreieck (in der oben beschriebenen Weise) vierteilen, aber als einziges lässt es sich auch in 5 zu ihm selbst ähnliche Dreiecke zerschneiden, die Flächen sind 2 mal 1/3 und 3 mal 1/9 der ganzen.

Teilt man nun ein bereits erhaltenes Teil-Dreieck weiter in 4 oder 5 Teile, so gibt es jeweils 3 bzw. 4 zusätzliche Teile und damit diesen Stammbaum der möglichen Zahlen:

Außer 2, 3 und 6 kommen darin alle natürlichen Zahlen vor, die meisten sogar ziemlich oft. Etwas erstaunlich finde ich es schon, dass "ausgerechnet" für diese Zahlen keine entsprechende Teilung möglich ist.

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