Hemmes mathematische Rätsel: Dreiecke im Würfel
Der 1975 geboren US-Amerikaner Wei-Hwa Huang hat mehrfach für die USA an der Internationalen Mathematikolympiade, der World Puzzle Championship und der Sudoku-Meisterschaft teilgenommen. Er ist ein bekannter Erfinder von Brettspielen und hat zahlreiche mathematische Knobeleien entworfen, darunter folgende:
Wählt man drei Ecken eines Würfels zufällig aus, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Ecken eines spitzwinkligen Dreiecks bilden? Und wie groß, dass sie die Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks ergeben? Und wie groß, dass sie die Ecken eines stumpfwinkligen Dreiecks bilden?
Bei einem Würfel sind zwei Eckpunkte entweder eine Kantenlänge a, eine Flächendiagonale a√2 oder eine Raumdiagonale a√3 voneinander entfernt. Dadurch gibt es auch nur drei verschiedene Dreieckstypen im Würfel. Typ A: rechtwinklig, gleichschenkliges Dreieck mit den Seitenlängen a, a und a√2, Typ B: rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen a, a√2 und a√3, Typ C: gleichseitiges Dreieck, dessen Seiten a√2 lang und dessen Winkel 60° groß sind.
Auf jeder Seitenfläche des Würfels liegen vier verschiedene Dreiecke vom Typ A. Da ein Würfel sechs Seiten hat, enthält er 24 Dreiecke vom Typ A.
Auf jeder Flächendiagonalen des Würfels stehen zwei Dreiecke vom Typ B, und da der Würfel sechs Flächen und jede Fläche zwei Diagonalen besitzt, gibt es auch 24 Dreiecke vom Typ B.
Verbindet man die drei Ecken, die eine Kante weit von einem bestimmten Eckpunkt entfernt sind, entsteht ein Dreieck vom Typ C. Da ein Würfel acht Ecken besitzt, enthält er auch acht Dreiecke vom Typ C.
Insgesamt bilden die Eckpunkte eines Würfels also 24 + 24 + 8 = 56 Dreiecke. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig davon ausgewähltes Dreieck spitzwinklig ist, beträgt somit 8/56 = 1/7 und die Wahrscheinlichkeit, dass es rechtwinklig ist 48/56 = 6/7. Die Wahrscheinlichkeit, ein stumpfwinkliges Dreieck zu wählen, ist 0.
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