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Hemmes mathematische Rätsel: Dreiecke und Quadrate

Welche Werte kann die Eckenzahl eines konvexen Vielecks haben, das man vollständig in lauter Quadrate und gleichseitige Dreiecke zerschneiden kann? Alle Quadrate und Dreiecke sollen die gleiche Seitenlänge haben.
Polygon

Die meisten Mathematiker knobeln gerne. Darum gibt es in vielen wissenschaftlichen Mathematikzeitschriften auch eine Rätselecke. Bei der amerikanischen Zeitschrift »Mathematics Magazine«, die sich an Lehrer und Studenten wendet, nimmt sie sogar einen besonders großen Raum ein. Es gibt beziehungsweise gab in jedem Heft jeweils vier verschiedene Aufgabenkolumnen: die Probleme, die Quickies, die Trickies und die Falsies. Unter der Nummer 707 veröffentlichte der amerikanische Mathematiker Joseph Malkewitch dort im November 1968 das folgende Problem:

Welche Werte kann die Eckenzahl eines konvexen Vielecks haben, das man vollständig in lauter Quadrate und gleichseitige Dreiecke zerschneiden kann? Alle Quadrate und Dreiecke sollen die gleiche Seitenlänge haben.

Da die Winkel im gleichseitigen Dreieck 60° und im Quadrat 90° betragen, können die Winkel der aus ihnen zusammengesetzten konvexen Vielecke nur 60°, 90°, 120° und 150° ergeben. Allgemein beträgt die Winkelsumme im n-Eck (n−2) · 180°. Da in diesem Fall die einzelnen Winkel jedoch höchstens 150° groß sind, ergibt sich für das größtmögliche n die Gleichung n · 150° = (n−2) · 180° oder nach einigen Umformungen n = 12.

Die aus lauter Quadraten und gleichseitigen Dreiecken bestehenden konvexen Vielecke haben also höchstens zwölf Ecken. Für alle Eckenzahlen von 3 bis 12 lassen sich auch Zerlegungen finden. Die Skizze zeigt jeweils ein Beispiel.

Dreiecke und Quadrate

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