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Hemmes mathematische Rätsel: Dreiecksschnecke mit Quadraten

Dreiecksschnecke mit Quadraten

Der kalifornische Physiker Richard I. Hess ist einer der kreativsten Rätselerfinder der letzten Jahrzehnte. Von 1984 bis 1994 schrieb er die Rätselkolumne »Puzzles from Around the World« in der Mitarbeiterzeitschrift »Logigram« der Firma »Logicon«, bei der er 27 Jahre lang arbeitete. Aus dieser Kolumne entstand das Buch »Puzzles from Around the World«, das er 1997 selbst verlegte. Dann folgten bei verschiedenen Verlagen die Denksportaufgabenbücher »All-Star Mathlete Puzzles« (2009), »Golf on the Moon« (2011) und »Number-Crunching Math Puzzles« (2013). Sein neuestes Buch, das 2016 in Singapur erschienen ist, trägt den Titel »The Population Explosion«. Aus ihm stammt die folgende Aufgabe.

Die Schnecke besteht aus zwölf gelben rechtwinkligen Dreiecken. Die blaue Strecke hat die Länge 13. Wie groß ist die Gesamtfläche aller dreizehn rosa Quadrate?

Nach dem Satz des Pythagoras ist bei einem rechtwinkligen Dreieck die Gesamtfläche der beiden Kathetenquadrate gleich der Fläche des Hypotenusenquadrats.

Die Fläche des Hypotenusenquadrats des kleinsten gelben Dreiecks ist somit gleich der Summe der Flächen seine beiden rosa Kathetenquadrate. Das zweitkleinste gelbe Dreieck besitzt nur ein rosa Kathetenquadrat. Das zweite Kathetenquadrat wäre das Hypotenusenquadrat des kleinsten gelben Dreiecks. Folglich hat das Hypotenusenquadrat des zweitkleinsten gelben Dreiecks einen Inhalt, der der Gesamtfläche der drei rosa Quadrate der beiden kleinsten Dreiecke entspricht.

So kann man sich weiter durch alle Dreiecke hangeln und kommt schließlich zu dem Ergebnis, dass die Gesamtfläche aller rosa Quadrate dem Inhalt des Quadrats der blauen Hypotenuse des größten gelben Dreiecks entspricht und somit einen Wert von 132 = 169 hat.

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