Fassen Sie die Ecken paarweise zusammen.

Der Schwerpunkt zweier benachbarter Ecken ist in der Mitte der Seite, die sie miteinander verbindet. Anders gesagt: Sie können die beiden Ecken zugleich dorthin schieben, ohne dass sich am Gesamtschwerpunkt etwas ändert.

Der Schwerpunkt aller vier Ecken liegt daher in der Mitte von jedem der beiden Bimediane (blau), also der Strecken, die jeweils zwei einander gegenüberliegende Seitenmitten verbinden.

Sie können also wahlweise einen der Bimediane zeichnen und halbieren oder den Schnittpunkt beider Bimediane konstruieren.

Was folgt aus dem Gesagten für das Viereck, welches die Seitenmitten als Ecken hat (hellgrün)?

Dieses Viereck aus den Seitenmitten hat offensichtlich zwei sich gegenseitig halbierende Diagonalen, ist also ein Parallelogramm (Satz von Varignon).

Muss das ursprüngliche Viereck für diese Folgerungen eben sein, d.h. müssen die 4 Ecken in einer gemeinsamen Ebene liegen?

Wir haben das nirgends voraussetzen müssen (und was wichtiger ist: es auch nicht stillschweigend getan). Es können also auch die Ecken eines Tetraeders sein. Wir haben insgesamt sogar drei Bimediane, die sich sämtlich in einem gemeinsamen Punkt, dem Schwerpunkt der 4 Ecken, treffen und gegenseitig halbieren. In drei Dimensionen ist es ja nicht selbstverständlich, dass nicht parallele Geraden sich schneiden, aber unsere Bimediane tun es, weil es ja nur einen Schwerpunkt für alle 4 Ecken gibt.

Die 6 Seitenmitten (also Kantenmitten des – beliebig unregelmäßigen – Tetraeders) sind die Ecken eines Oktaeders, dessen Kanten drei Parallelogramme bilden und dessen Diagonalen sich halbieren. Das muss nicht für jedes Oktaeder so sein.