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Hemmes mathematische Rätsel: Ein besonderes lateinisches Quadrat

Können Sie ein lateinisches 4×4-Quadrat konstruieren, bei dem zusätzlich noch die Summe der Zahlen in dem rosa Bereich und in dem gelben Bereich gleich groß ist?
Besonderes lateinisches Quadrat

Im Jahre 1779 untersuchte der große Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) quadratische Raster aus N×N Zahlenfeldern, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte jede der Zahlen von 1 bis N genau einmal vorkommt. Da er damals anstelle von Zahlen lateinische Buchstaben verwendete, nennt man solche Zahlenraster noch heute lateinische Quadrate.

Im Herbst 2011 stellte der amerikanische Mathematiker James M. Henle vom Smith College in Massachusetts in den USA gemeinsam mit Gerard Butters, Frederick Henle und Colleen McGaughey in der Zeitschrift »The Mathematical Intelligencer« den Lesern und Leserinnen folgende Aufgabe: Konstruieren Sie ein lateinisches 4×4-Quadrat, bei dem zusätzlich noch die Summe der Zahlen in dem rosa Bereich und in dem gelben Bereich gleich groß ist.

Die Summe aller Zahlen des Quadrats beträgt 4 • (1 + 2 + 3 + 4) = 40, die sich zu je 20 auf beide Bereiche aufteilt. Der größere rosa Bereich besitzt am unteren Rand eine vollständige Zeile, in der in irgendeiner Reihenfolge alle vier Zahlen von 1 bis 4 vorkommen. Da sie zusammen 10 ergeben, bleibt für die restlichen sechs Felder des Bereichs auch nur eine Summe von 10 übrig. Dies ist nur möglich, wenn in der obersten Zeile des rosa Bereichs die Zahlen 1, 2 und 3 in irgendeiner Reihenfolge stehen, in der zweiten die Zahlen 1 und 2 in irgendeiner Reihenfolge stehen und in der dritten die 1 steht. Bei allen anderen Möglichkeiten wäre die Summe größer als 10.

Schauen wir uns nun den gelben Bereich an. In der obersten Zeile kann dort nur die 4 stehen. Daraus folgt, dass in der zweiten Zeile links die 4 und rechts die 3 stehen muss. In der dritten Zeile müssen nun die Zahlen 4, 3 und 2 von links nach rechts stehen.

Der Rest ist einfach, und es gibt eine eindeutige Lösung.

Ein besonderes lateinisches Quadrat

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