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Ein leichter Dreh

Treitz-Rätsel

Was ist das?

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Sind hier alle Ecken gleichwertig?

Die Figur hat eine sechseckige Spiegelebene. (Ja, Ebenen sind per definitionem unendlich ausgedehnt und nicht sechseckig … Aber Sie verstehen das schon richtig: Die Figur hat eine Spiegelebene, und der Teil der Ebene, der in der Figur steckt, ist ein Sechseck.) Jede Hälfte der Figur könnte mit einem regulären Sechseck als Grundfläche abgeschlossen sein und würde dann als 3-zählige Kuppel bezeichnet. Allgemein hat die n-zählige Kuppel ein regelmäßiges 2n-Eck als Grundfläche, ein regelmäßiges n-Eck als Decke und dazwischen eine Wand, in der sich n gleichseitige Dreiecke und n Quadrate abwechseln.

Unsere Figur ist also eine 3-zählige Doppelkuppel. Da die Spiegelung ohne eine zusätzliche Verdrehung zu denken ist, ist sie insbesondere eine 3-zählige Ortho-Doppelkuppel. An allen Ecken treffen sich zwei Dreiecke und zwei Quadrate, aber nicht überall in der gleichen Reihenfolge: mal 3-3-4-4, mal 3-4-3-4.

Im Verzeichnis der Johnson-Polyeder hat die 3-zählige Ortho-Doppelkuppel die Nummer 27.

Nun kann man die Hälften einer n-zähligen Doppelkuppel um 1/(2n) einer vollen Drehung gegeneinander verdrehen und bekommt die Gyro-Doppelkuppel (auf Deutsch auch "verdrehte Doppelkuppel", während "Doppelkuppel" ohne Attribut die Ortho-Doppelkuppel meint). Die dreizählige Gyro-Doppelkuppel gehört zu den halbregulären (archimedischen) Polyedern, weil bei ihr alle Ecken gleich sind: Es treffen sich die Dreiecke und Quadrate überall in der Reihenfolge 3-4-3-4. Die Figur kann als Stumpf sowohl von einem Würfel als auch von einem Oktaeder aufgefasst werden, wobei jeweils das Abschneiden so rabiat zu denken ist, dass von jeder der 12 Kanten nur ein Punkt übrig bleibt. Sie heißt Kuboktaeder.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Die 24 Kanten des Kuboktaeders bilden 4 regelmäßige Sechsecke, die aber keine Symmetrieebenen sind. Wenn man eines davon zum Trennen der Hälften verwendet und eine Hälfte um 1/6 dreht, kommt man zu dem spiegelsymmetrischen Polyeder aus der Frage.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Bastelvorschlag: Bauen Sie beide Hälften aus Karton und verbinden Sie die sechseckigen "Grundseiten" drehbar mit einem Druckknopfpaar (natürlich ohne das Abheben in der Animation).

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