Direkt zum Inhalt

Hemmes mathematische Rätsel: Ein Möbiusband aus Dreiecken

Kann man ein Möbiusband aus ebenen Dreiecken herstellen? Und wenn ja, wie viele braucht man mindestens?
Möbiusband

Verdreht man einen Papierstreifen um 180 Grad und klebt dann seine beiden Enden zu einem Papierring zusammen, erhält man ein Möbiusband. Es ist nach dem deutschen Mathematiker und Astronomen August Ferdinand Möbius (1790–1868) benannt, der die topologischen Eigenschaften dieses Bands 1858 beschrieb. Das Möbiusband hat eine ganze Reihe kurioser Eigenschaften. Ein gewöhnlicher unverdrehter Papierring hat zwei Flächen – die Innen- und die Außenfläche – und zwei Ränder – den oberen und den unteren Rand. Das Möbiusband hingegen hat nur eine Fläche und auch nur einen Rand. Das bedeutet, man kann bei einem gewöhnlichen Papierring von der Außenfläche nicht zur Innenfläche gelangen, ohne über einen der beiden Ränder zu gehen, während man beim möbiusschen Band von jedem Punkt zu jedem anderen Punkt gelangen kann, ohne den Rand überschreiten zu müssen. Schneidet man mit einer Schere bei einem gewöhnlichen Papierring entlang seiner Mittellinie einmal um das ganze Band, erhält man zwei getrennte Ringe. Macht man das Gleiche mit einem Möbiusband, entsteht nur ein Ring, der doppelt verdreht ist.

In meinem im Jahr 2000 erschienenen Buch »Das Hexeneinmaleins« habe ich meinen Lesern und Leserinnen die Frage gestellt, ob man ein Möbiusband auch aus Dreiecken herstellen kann und, falls dies möglich sein sollte, wie viele Dreiecke man dazu mindestens benötigen würde. Dabei sollen alle Dreiecke eben sein, und die Kanten von zwei Dreiecken, die man aneinanderklebt, müssen mit ihren Eckpunkten aufeinanderfallen. Die Dreiecke dürfen dabei auch nicht flach aufeinanderliegen, das heißt, es muss ein dreidimensionales Gebilde entstehen.

Mit fünf Dreiecken kann man ein Möbiusband basteln, mit weniger geht es nicht. Das Schnittmuster des Bands könnte beispielsweise aus vier gleichseitigen Dreiecken der Seitenlänge 1 bestehen und aus einem gleichschenkligen Dreieck, dessen Seiten die Längen 1, 1 und √(8/3) ≈ 1,63 haben. Die Dreiecke werden nach dem Falten mit den beiden mit A markierten Kanten aneinandergeklebt.

Ein Möbiusband aus Dreiecken

Das dadurch entstehende Möbiusband hat die Form einer Doppelpyramide aus zwei aufeinandergesetzten regelmäßigen Tetraedern. Bei dieser Doppelpyramide fehlen allerdings die obere vordere rechte Seite und die untere hintere Seite.

Ein Möbiusband aus Dreiecken

Schreiben Sie uns!

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

Partnerinhalte