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Hemmes mathematische Rätsel: Ein Quersummenproblem

Mathematik der PsycheLaden...

Volker Wagner aus Wermelskirchen hat zahlreiche Denksportaufgaben erfunden. Er wurde 1965 geboren, studierte in Dortmund Chemie und promovierte in Bonn. Sein folgendes Quersummenproblem hat er 2009 in einem Denksportforum im Internet veröffentlicht.

Addiert man die Ziffern einer Zahl, erhält man ihre Quersumme. Welches sind die beiden kleinsten, direkt aufeinander folgenden Zahlen, deren Quersummen beide ohne Rest durch 14 teilbar sind?

Wenn wir die kleinere Zahl mit A bezeichnen, hat ihre Nachfolgerin den Wert B = A + 1. Endet A nicht mit einer 9, ist die Quersumme von B genau um 1 größer als die von A. Folglich kann höchstens eine der beiden Zahlen durch 14 teilbar sein.

Sind die beiden letzten Ziffern von A jedoch a und 9, wobei a keine 9 ist, so endet B mit den Ziffern a+1 und 0. Ist diesem Fall ist die Quersumme von B um 8 kleiner als die von A.

Nun kann man sich leicht überlegen, dass die Quersumme von B um 9n − 1 kleiner ist als die von A, wenn A auf genau n Neunen endet. Wenn die Quersumme von A durch 14 teilbar ist, dann muss 9n − 1 ein Vielfaches von 14 sein, damit auch die Quersumme von B durch 14 teilbar ist.

Das kleinste n, das diese Bedingungen erfüllt, ist n = 11. Die Zahl A endet also auf elf Neunen. Die Quersumme von 99 999 999 999 beträgt aber nur 99. Die nächst größere durch 14 teilbare Zahl ist 112. Es müssen dieser Zahl also noch Ziffern mit der Summe 13 vorangestellt werden. Die kleinste Zahl, die man auf diese Weise bilden kann, ist 5 899 999 999 999. Ihre Nachfolgerin ist 5 900 000 000 000.

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