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Ein rechtwinkliges Oktaeder

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Betrachten Sie bitte ein Oktaeder, das aus zwei einander gegenüberliegenden gleichseitigen Dreiecken und im übrigen 6 gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken besteht. An jeder der 6 Ecken stoßen 4 Dreiecke so aneinander, dass die kleinen Winkel (45o) nicht paarweise nebeneinander liegen.

Welches Volumen hat dieses Oktaeder (oder 3-Antiprisma) als Funktion der Schenkellänge?

Die rechten Winkel bringen uns auf die Idee, die Figur vielleicht durch zielgerechte Verstümmelung eines Würfels anzufertigen.

Unser (spezielles) rechtwinkliges Oktaeder kann aus einem Würfel geschnitten werden, in dem man zwei gegenüberliegende Ecken mitsamt den anliegenden Kanten abschneidet. Der Würfel zerfällt dadurch in zwei 3-Pyramiden und unser 3-Antiprisma mit jeweils 1/3 der Würfel-Raumdiagonale als Höhe. Daraus errechnet sich das Volumen zu 2/3 des Volumens des ganzen Würfels, da jede der beiden Pyramiden 1/6 des Würfelvolumens hat.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Diese Aufgabe habe ich in etwas anderer Form als Beitrag von Herrn Eckard Schmidt vom Hans-Geiger-Gymnasium Kiel zu einem Beiheft zu einer Ausstellung über Würfel (März 1988 in Bad Oldesloe in der Theodor-Mommsen-Schule) gefunden.

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