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Ein spezieller Satz im Viereck

Treitz-Rätsel

Zeigen Sie: Die Verbindungslinie der Mitten zweier nicht benachbarter Seiten in einem Viereck halbiert die Verbindung der Mittelpunkte der Diagonalen.

Muss das ein ebenes Viereck sein? Gibt es einen Unterschied zwischen Diagonalen und Seiten, wenn ein Viereck nicht unbedingt konvex und überschlagungsfrei sein muss?

Die Behauptung (mit einem speziell auf sie zugeschnittenen Beweis) habe ich bei Posamentier/Salkind (Nr. 1.17) gefunden.

Sie ist aber nur ein Spezialfall des Satzes von Varignon, der auch für nicht-ebene Vierecke gilt: Bildet man aus 4 Punkten durch Vorgabe einer zyklischen Reihenfolge ein Viereck, so bilden die Mittelpunkte der (in gleicher zyklischer Ordnung definierten) Seiten die Ecken eines Parallelogramms. Dessen Seiten sind nämlich paarweise zu einer Diagonalen parallel.

Lässt man nun noch den Unterschied zwischen Seiten und Diagonalen fallen, betrachtet also alle 6 Strecken zwischen je zwei der 4 Punkte als Kanten eines (allgemeinen, also nicht notwendig regelmäßigen) Tetraeders (oder Vierflachs), so gibt es zwischen den 6 Streckenmitten 15 Geraden, 12 davon sind die Kanten und 3 die Diagonalen eines (im Allgemeinen nicht regulären) Oktaeders. Diese Kanten bilden zu viert mit je zwei dieser Diagonalen 3 verschiedene Parallelogramme, denn je zwei von ihnen sind zu einer gemeinsamen Kante des Tetraeders (als Mittelparallelen in dessen Dreiecken) parallel.

Das Oktaeder hat 4 Dreiecke, die zu denen des Tetraeders im linearen Maßstab 1/2 ähnlich sind, und vier weitere im Maßstab –1/2, also klappsymmetrisch zu jeweils einem anderen (wenn man stets von außen guckt).

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Hinter der so speziell aussehenden Behauptung steckt also eine sehr weit gehende Symmetrie, nämlich die Punktsymmetrie des Oktaeders aus den Kantenmitten, wogegen für das Tetraeder überhaupt keine Symmetrie vorausgesetzt worden ist.

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