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Hemmes mathematische Rätsel: Ein ungewöhnliches Kartenspiel

Können Sie an Hand des Endstands eines Kartenspiels ermitteln, wer anfangs die niedrigste Karte erhielt?
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Anna, Britta und Christina spielen ein ungewöhnliches Kartenspiel. Es gibt nur drei Karten, und auf jeder Karte steht eine ganze Zahl. Die drei Zahlen sind verschieden und alle sind größer als null. In jeder Runde werden die Karten gemischt und dann verteilt. Anschließend erhält jede Frau aus einem Korb so viele Murmeln, wie die Zahl auf ihrer Karte angibt. Danach werden die Karten wieder eingesammelt und die nächste Runde beginnt. Die drei Frauen spielen mindestens zwei Runden ihres Spiels. In der letzten Runde bekommt Britta die höchste Karte. Zum Schluss hat Anna 44, Britta 34 und Christina 33 Murmeln.

Wer hat in der ersten Runde die niedrigste Karte erhalten?

Die Zahlen auf den drei Karten nennen wir a, b und c, wobei a die kleinste und c die größte Zahl ist. In jeder Runde werden a + b + c Murmeln verteilt. Da die drei Frauen zum Schluss nach n Runden zusammen 111 Murmeln erhalten haben, muss die Gleichung n(a + b + c) = 111 gelten. 111 ist das Produkt der beiden Primzahlen 3 und 37. Da mindestens zwei Runden gespielt wurden und a + b + c mindestens 6 sein muss, kann nur n = 3 und a + b + c = 37 sein. Ein Vertauschen der Ergebnisse der ersten Runde mit denen der zweiten Runde ändert nichts an den Endergebnissen.

Erste und zweite Runde sind also mit den Angaben aus der Aufgabe gar nicht zu unterscheiden. Wenn man nun vermutet, dass die Aufgabe eindeutig lösbar ist, muss diejenige, die in der ersten Runde die niedrigste Karte bekommen hat, sie auch in der zweiten Runde erhalten haben. Mit dieser Annahme findet man schnell, dass Anna 18 + 18 + 8 = 44, Britta 8 + 8 + 18 = 34 und Christina 11 + 11 + 11 = 33 Murmeln bekommen hat. Überprüft man alle anderen Möglichkeiten, stellt man fest, dass dies tatsächlich die einzige Lösung ist.

Alternative Lösung von einigen Lesern

Eine andere Möglichkeit ist, dass Anna 16, 16, 12, Britta 9, 9, 16 und Christina 12, 12, 9 ziehen.

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