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Hemmes mathematische Rätsel: Eine Milliarde Zahlen

Das Produkt von einer Milliarde positiver ganzer Zahlen beträgt 1 000 000 000. Die Zahlen müssen nicht unbedingt alle verschieden sein. Wie groß kann die Summe dieser Milliarde Zahlen höchstens sein?
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1970 gründeten die beiden bekannten russischen Wissenschaftler Andrei N. Kolmogorov und Isaak K. Kikoyin die Zeitschrift »Kvant«, in der von Fachautoren auf anschauliche Weise über aktuelle Themen der Mathematik und der Physik für ein breites Publikum geschrieben wird. Die Zeitschrift wurde ein so großer Erfolg, dass ab 1990 auch eine amerikanische Ausgabe mit dem Titel »Quantum« erschien, die neben Übersetzungen aus der russischen Ausgabe auch Originalartikel publizierte. Leider blieb der amerikanischen Ausgabe der Erfolg der russischen versagt, so dass sie nach elf Jahren wieder eingestellt wurde. Eine französische Ausgabe von Kvant gab es nicht, aber eine ganze Reihe von Artikeln der Zeitschrift wurde ins Französische übersetzt und zu zwei Büchern zusammengefasst. Alle russischen Ausgaben der Zeitschrift sind übrigens kostenlos im Internet unter der Adresse »kvant.mccme.ru« zugänglich. In »Quantum« erschienen auch zahlreiche mathematische Rätsel. 1996 stellte Timothy Weber hundert dieser Knobeleien aus der Zeitschrift zu einem Buch zusammen, das dann unter dem Titel »Quantum Quandaries« in Arlington in den USA erschien. Die Kopfnuss dieser Woche ist ein Rätsel, das im September 1990 in »Quantum« veröffentlicht wurde.

Das Produkt von einer Milliarde positiver ganzer Zahlen beträgt 1 000 000 000. Die Zahlen müssen nicht unbedingt alle verschieden sein. Wie groß kann die Summe dieser Milliarde Zahlen höchstens sein?

Für zwei beliebige Zahlen A und B, die beide größer als 1 sind, gilt
(A−1)(B−1) > 0. Multipliziert man die beiden Klammern aus, kann man die Ungleichung zu AB + 1 > A + B umstellen. Die Summe aus der Zahl AB und der Zahl 1 ist also größer als die Summe der beiden Zahlen A und B.

Andererseits ist das Produkt der zwei Zahlen AB und 1 genauso groß wie das Produkt der Zahlen A und B, das heißt AB × 1 = A × B. Tauscht man also von der Milliarde Zahlen zwei beliebige Zahlen A und B, die beide größer als 1 sind, gegen die Zahlen AB und 1 aus, so bleibt das Produkt aller Zahlen unverändert, während die Summe größer wird.

Dieses Austauschen setzt man solange fort, bis alle Zahlen bis auf die letzte durch Einsen ersetzt worden sind. Da das Produkt aller Zahlen 1 000 000 000 beträgt, muss diese letzte Zahl gerade 1 000 000 000 sein. Die maximal mögliche Summe beträgt somit 1 999 999 999.

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