Rätseln mit Eder: Entspricht Jovans Behauptung der Wahrheit?
Jovan hat in das Quadrat den Inkreis gezeichnet.
Er behauptet: »Der Umfang des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks AEF ist doppelt so groß wie der Radius r des Inkreises, wenn die Strecke von E nach F den Kreis in genau einem Punkt P berührt!«
Stimmt diese Behauptung?
Jovans Behauptung stimmt.
Es muss bewiesen werden, dass der Umfang u des blauen Dreiecks doppelt so groß ist wie der Radius r des Kreises: u = 2r.
Die Seitenlänge des Quadrats ist so lang wie der Durchmesser d des Inkreises: d = 2r.
Die Diagonale von M nach A des Quadrats MH1AH2 durch den Punkt P verläuft senkrecht zur Strecke von E nach F.
Verbindet man den Mittelpunkt M mit den Punkten H1, E, F und H2, dann entstehen vier gleich große rechtwinklige Dreiecke. Die kleineren Katheten dieser Dreiecke haben dieselbe Länge x.
Das blaue Dreieck hat die Seitenlängen (r – x), (r – x) und 2x.
Damit lässt sich beweisen, dass der Umfang u doppelt so groß ist wie der Radius des Kreises:
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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