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Euklid I, 43

Treitz-RätselLaden...

In diesem Parallelogramm schneiden die beiden Seitenparallelen sich auf der Diagonalen. Wie beweist man, dass die gelben Teile einander flächengleich sind?

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Gut, dass die "Elemente" von Euklid durchnummeriert sind! Betrachten Sie auch die weißen Flächen.

In der deutschen Ausgabe (von Thaer) heißt es bei Euklid: In jedem Parallelogramm sind die Ergänzungen (also unsere gelben Teile) der um die Diagonale liegenden Parallelogramme (hier blau und rot getönt) einander (flächen-) gleich.

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Und in dem Wort "Ergänzungen" ist der Beweis fast schon enthalten:

Da die Diagonale das ganze Parallelogramm ebenso wie das blaue und das rote Parallelogramm in zwei einander (nicht nur flächen-, sondern sogar deckungs-)gleiche Dreiecke teilt, bleibt den gelben Parallelogrammen sozusagen (buchstäblich) nichts anderes übrig, als ebenfalls einander flächengleich zu sein.

In einer Raute sind sie sogar deckungsgleich, wie leicht zu sehen, und also auch im Quadrat, wo sie gemeinsam das gemischte Glied \(2ab\) in der Beweisfigur für die binomische Formel \( (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \) darstellen.

Wenn man vom Quadrat ausgeht, wo der Satz ziemlich offenkundig ist, kann man ihn auch recht plausibel auf das Parallelogramm verallgemeinern. Dieses kann man als Schrägbild eines Quadrates aus unendlicher Entfernung ansehen oder durch eine affine Abbildung (Scherung und Streckung) aus ihm herstellen, bei der Geraden gerade und alle Flächenverhältnisse erhalten bleiben.

Übrigens fand ich einmal Euklids "Elemente" in einer großen Fachbuchhandlung im Regal für Chemie. Das hätte auch beim griechischen Originaltitel "stoicheia" passieren können, denn von ihm leitet sich auch der chemische Begriff der "Stöchiometrie" ab. Als ich das einem (anderen) Buchhändler erzählte, berichtete dieser von einem Buch über Operationsverstärker, das jemand in das Regal "Chirurgie" gestellt hatte (Laie? Scherzkeks? Patient mit unbefriedigend verlaufener Operation?).

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