Hemmes mathematische Rätsel: Existieren mehr oder gleich viele Möglichkeiten?
1000 kann man auf viele verschiedene Weisen als Summe von genau vier positiven geraden ganzen Zahlen darstellen, beispielsweise als 2 + 12 + 42 + 944 = 1000. Ebenfalls kann man 1000 auf viele verschiedene Weisen als Summe von genau vier positiven ungeraden ganzen Zahlen schreiben, zum Beispiel als 17 + 123 + 333 + 527 = 1000. Gibt es mit vier geraden oder mit vier ungeraden Zahlen mehr verschiedene Weisen, die 1000 darzustellen, oder sind es gleich viele Weisen? Die Reihenfolge der vier Summanden soll dabei keine Rolle spielen.
Zu jedem Quartett a, b, c und d von positiven geraden Zahlen, für das a ≤ b ≤ c ≤ d und a + b + c + d = 1000 gilt, gibt es vier positive ungerade Zahlen a – 1, b – 1, c – 1 und d + 3, deren Summe auch 1000 beträgt. Folglich gibt es mindestens so viele Weisen, mit vier ungeraden Zahlen 1000 darzustellen wie mit vier geraden Zahlen. Es sind damit aber noch nicht alle möglichen Quartette ungerader Zahlen erfasst. Die Zahl d + 3 ist größer als c – 1, aber es gibt auch Quartette, bei denen die beiden größten Zahlen gleich groß sind, wie beispielsweise bei 1 + 5 + 497 + 497 = 1000. Selbst Quartette mit drei gleichen größten Zahlen sind möglich, zum Beispiel 1 + 333 + 333 + 333 = 1000. Folglich gibt es mehr Möglichkeiten, 1000 mit vier ungeraden als mit vier geraden Zahlen darzustellen.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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