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Hemmes mathematische Rätsel: Fahrenheit und Celsius

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Die Fahrenheitskala wurde um 1714 von dem deutschen Physiker und Instrumentenbauer Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-1736) entwickelt. Bei dieser Temperaturskala sind der Gefrier- und der Siedepunkt des Wassers mit 32° F und 212° F festgelegt. Sie ist heute nur noch in Nordamerika gebräuchlich. Bei der Celsiusskala hingegen entsprechen dem Gefrier- und dem Siedepunkt des Wassers Temperaturen von 0° C und 100° C. Sie wurde 1742 von dem schwedischen Astronomen Anders Celsius (1701-1744) eingeführt. Daraus resultiert die Umrechnungsformel von einer Celsiustemperatur C in eine Fahrenheittemperatur F zu F = 9/5C + 32.

Welche positive ganzzahlige Celsiustemperatur lässt sich in die korrekte positive ganzzahlige Fahrenheittemperatur umwandeln, indem man einfach die letzte Stelle der Celsiustemperatur an ihren Anfang verschiebt? Beispielsweise würde aus 2147° C mit dieser Methode 7214° F werden. Dennoch ist dies keine Lösung der Aufgabe, denn 2147° C ist nicht die gleiche Temperatur wie 7214° F.

Einer Celsiustemperatur C entspricht eine Fahrenheittemperatur von F = 9/5C + 32. C und F sollen positiv und ganzzahlig sein, darum muss C durch 5 teilbar sein. Das ist nur der Fall, wenn C auf 0 oder 5 endet.

In der Aufgabe war außerdem gefordert worden, dass die Fahrenheittemperatur dem Wert der Celsiustemperatur entspricht, bei der die letzte Ziffer an den Anfang verschoben worden ist. Eine 0 am Ende von C ergibt auf diese Weise eine Fahrenheittemperatur, die kleiner ist als C. Das ist aber unmöglich. Folglich endet die Celsiustemperatur mit einer 5.

Ist a die Zahl, die entsteht, wenn man von der Celsiustemperatur die letzte Stelle streicht, so gilt C = 10a + 5. Hat C n Stellen, wird daraus die Fahrenheittemperatur F = 5 • 10n–1 + a.

Setzt man beide Temperaturen in die Umrechnungsgleichung ein, erhält man 5 • 10n–1 + a = 9/5 (10a + 5) + 32. Sie wird nach a aufgelöst und ergibt a = (5 • 10n–1 – 41) / 17.

Für n = 2 findet man keine ganzzahlige Lösung, aber für n = 3 bekommt man a = 27. Folglich sind die Temperaturen 275° C und 527° F gleich hoch.

Die nächste Lösung ist 2 941 176 470 588 235 275° C = 5 294 117 647 058 823 527° F und so hoch, dass sie im Universum nicht vorkommen kann. Man kann zeigen, dass es immer genau dann Lösungen gibt, wenn n = 16m + 3 ist mit m = 0, 1, 2, 3, …

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