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Hemmes mathematische Rätsel: Fakultätenteiler

Für welche Werte von N ist N! nicht ohne Rest durch N2 teilbar?
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Volker Wagner aus Wermelskirchen hat zahlreiche Denksportaufgaben erfunden. Er wurde 1965 geboren, studierte in Dortmund Chemie und promovierte in Bonn. Sein folgendes Fakultätenteilerproblem hat er im Jahr 2010 einem Denksportforum im Internet veröffentlicht.

Multipliziert man alle ganzen Zahlen von 1 bis N miteinander, so bezeichnet man dieses Produkt als die Fakultät von N und schreibt dies nach einem Vorschlag des französischen Mathematikers Christian Kramp (1760–1826) als N!. So sind beispielsweise 1! = 1, 3! = 1 · 2 · 3 = 6 und 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Die Null nimmt eine Sonderstellung ein; per Definition ist 0! = 1. Die Fakultätsfunktion spielt vor allen Dingen in der Kombinatorik eine große Rolle.

Für welche Werte von N ist N! nicht ohne Rest durch N2 teilbar?

Damit N! = 1 · 2 · 3 … · N durch N2 teilbar ist, muss N! den Teiler N mindestens zweimal enthalten. Der eine Teiler N ist der letzte Faktor von N!. Da alle anderen Faktoren von N! kleiner sind als N, muss sich der zweite Teiler N aus einigen der ersten N – 1 Zahlen von N! zusammensetzen.

Es gilt also N = A · B. Für alle natürlichen Zahlen N, – außer für 1, für die Primzahlen und für die Quadrate von Primzahlen – gibt es zwei verschiedene Zahlen A und B, die beide kleiner sind als N und darum Faktoren von N! sind. Somit kann man N! aller dieser Zahlen durch N2 ohne Rest teilen.

Betrachten wir die drei Ausnahmen nun etwas genauer. Für N = 1 gilt 1! = 1, und 1 ist durch 12 = 1 teilbar. Ist N eine Primzahl, so ist nur die Zerlegung N = 1 · N möglich. Folglich enthalten die Fakultäten von Primzahlen den Faktor N nur ein einziges Mal und sind somit nicht durch N2 teilbar.

Ist N das Quadrat eines Primzahl P, ist nur eine einzige Zerlegung in zwei Faktoren möglich, die beide kleiner als N sind: N = P · P. Deshalb kann man die obige Argumentation hier nicht anwenden. Betrachten wir darum die Zahlen einmal einzeln. Die kleinste Primzahl ist 2, und somit das kleinste Quadrat einer Primzahl N = 4. Die Zahl 4! = 24 ist nicht durch 42 = 16 teilbar. In den Fakultäten aller Quadrate größerer Primzahlen N! = P2! treten hingegen die Faktoren P, 2P und P2 auf, womit N! auf jeden Fall N2 teilbar ist.

Die einzigen Zahlen N, für die sich N! nicht ohne Rest durch N2 teilen lässt, sind also alle Primzahlen und 4.

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