Hemmes mathematische Rätsel: Falsches Wurzelziehen
Wilhelm Ernst Martin Georg Ahrens wurde am 3. März 1872 in Lübz an der Elde in Mecklenburg geboren. Er studierte Mathematik und Naturwissenschaften in Rostock, Berlin, Freiburg und Leipzig. Nach seinem Studium unterrichtete Ahrens einige Jahre an Schulen in Antwerpen und Magdeburg, bevor er um 1910 nach Rostock zog, um sich als Privatgelehrter ausschließlich seiner schriftstellerischen Arbeit zu widmen. Am 23. April 1927 starb Wilhelm Ahrens an den Folgen einer Grippe im Alter von nur 55 Jahren. Ahrens war einer der ersten, die die Unterhaltungsmathematik wissenschaftlich untersuchten und ihre Geschichte und ihre mathematischen Zusammenhänge veröffentlichten. Sein großes Werk »Mathematische Unterhaltungen und Spiele« erschien zuerst 1901 und dann in einer zweibändigen, stark erweiterten zweiten Auflage 1910 und 1918. Es zählt noch heute zu den Standardwerken der Unterhaltungsmathematik und ihrer Geschichte. Sein zweites wichtiges Werk zu diesem Thema ist das 1918 erschienene Buch »Altes und Neues aus der Unterhaltungsmathematik«, aus dem die folgende Aufgabe stammt:
Zieht man aus der Wurzel, unter der die gemischte Zahl 5 5⁄24 steht, die ganze Zahl 5 vor das Wurzelzeichen, so ist das Rechenverfahren zwar falsch, das Ergebnis aber trotzdem richtig.
\begin{eqnarray}\sqrt{5\ \frac{5}{24}} = 5\cdot\sqrt{\frac{5}{24}}\end{eqnarray}Gibt es noch weitere gemischte Zahlen, aus denen man auf diese falsche Weise die Wurzel teilweise ziehen kann und dabei dennoch ein richtiges Ergebnis erhält?
Man kann das fehlerhafte Wurzelziehen aus einer gemischten Zahl allgemein als √(x + y/z) = x · √(y/z) schreiben. Dabei sind x, y und z ganze Zahlen. Diese Gleichung wird zunächst zu x + y/z = x2y/z quadriert und dann nach y/z aufgelöst. Dadurch erhält man y/z = x/(x2 − 1).
Für x = 1 ist diese Gleichung nicht definiert. Für alle anderen Werte von x lässt sich der Bruch x/(x2 − 1) nicht kürzen, da x und x2 − 1 keinen gemeinsamen Teiler haben können. Damit erhält man für jeden Wert von x, der größer als 1 ist, eine gemischte Zahl x + y/z, aus der durch fehlerhaftes Wurzelziehen ein richtiges Ergebnis entsteht.
Die neun kleinsten dieser gemischten Zahlen sind 2 2⁄3, 3 3⁄8, 4 4⁄15, 5 5⁄24, 6 6⁄35, 7 7⁄48, 8 8⁄63, 9 9⁄80 und 10 10⁄99.
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