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Fermat-Torricelli-Punkt

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Emil Emsig hat drei Arbeitsplätze in verschiedenen Städten, zu denen er gleich häufig fahren muss. Nun sucht er einen optimalen Wohnort. Wie findet man ihn? Was kann man über die Richtungen sagen, in denen die Arbeitsplätze von der Wohnung aus liegen? Wir nehmen natürlich an, dass es überall geradlinige Verbindungen gibt, wo man sie braucht, und dass Emil sonst keine Interessen hat, die für die Wahl der Wohnung eine Rolle spielen (das Internet macht's möglich).

Erstaunlicherweise ist der gesuchte Ort keiner der vier "Mittelpunkte" des Dreiecks, die man seit der Antike kennt und in der Schule lernt: Schwerpunkt, In- und Umkreis-Mittelpunkt oder (bei Euklid nicht vorkommend!) Höhenschnittpunkt, sondern der erste, der in der Neuzeit dazu gekommen ist. Dabei ist er sehr interessant. Von ihm aus sieht man die Ecken in drei Richtungen, zwischen denen jeweils ein Winkel von 120o (sozusagen als Sehwinkel für die Dreiecksseiten) liegt, jedenfalls wenn alle Winkel im Dreieck kleiner als 120o sind.

Man kann sich leicht plausibel machen, dass jede Abweichung von dieser Winkelteilung durch Verschieben des gesuchten Punktes die Summe der Entfernungen größer macht, und Seifenlamellen in einem entsprechenden Experiment finden den Punkt auch auf diese Weise.

Wir zeigen zuerst, wie man den Punkt mit diesen drei gleichen Sehwinkeln findet:

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Wir bauen außen an das Dreieck drei gleichseitige Dreiecke auf die Seiten und nehmen deren Umkreise. Wegen des Umfangswinkelsatzes sieht jeder Punkt auf einem von ihnen die zugehörige Dreiecksseite unter 120o oder 60o. Die Kreise haben daher (alle drei!) einen gemeinsamen Schnittpunkt, den Fermat-Punkt, von dem aus die drei Seiten gleiche Sehwinkel haben.

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Nun zeichnen wir ein großes Dreieck, dessen Seiten durch die Ecken des Original-Dreiecks gehen und dort rechtwinklig zu den Verbindungen zum Fermat-Punkt stehen. Es ist daher gleichwinklig und (eine Folgerung, die nur fürs Dreieck stimmt) also auch gleichseitig. Jede seiner Ecken liegt übrigens auf einem der drei Umkreise, wegen des Umfangswinkelsatzes.

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Nun sehen wir uns irgendeinen Punkt darauf an, ob die Summe seiner Entfernungen (rot) zu den Ecken des Originaldreiecks minimal ist. Seine (grün gezeichneten) Abstände von den Seiten des großen Dreiecks sind allesamt nicht größer als die von den Ecken des Originaldreiecks, denn jede grüne Strecke ist Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck, dessen Hypotenuse die zugehörige rote Strecke ist.

Nach dem Satz von Viviani sind die blauen Abstände zusammen so groß wie die grünen zusammen (das ist eine Spezialität des gleichseitigen Dreiecks). Damit sind die blauen die kürzesten.

Wir haben uns das Ganze an einem Dreieck angesehen, bei dem alle Winkel kleiner als 120o sind. Im anderen Fall ändert sich für die Betrachtungen der Winkel nur, dass statt 120o auch 60o vorkommen können, die Extremal-Eigenschaft fällt aber flach, weil man dann die Wohnung einfach in der Stadt nimmt, bei der der Winkel mit 120o oder mehr auftritt.

Es ist übrigens unfair, dass der Punkt meistens nach Fermat benannt wird, obwohl der nur (als Freund von Extremalprinzipien) wissen wollte, wo er ist, wogegen Torricelli ihn dann gefunden hat. Man sollte ihn also (zumindest:) Fermat-Torricelli-Punkt nennen.

In den folgenden Bildern ist mit Zebrastreifen als Anzeige der Entfernungssummen für drei Dreiecke zu sehen, wie das Minimum im 1. isogonalen Punkt des Dreiecks, also dem 1. Torricelli-Punkt liegt, wenn kein Winkel größer als 120o ist, andernfalls aber mit der Ecke zusammen trifft, die diesen größeren Winkel hat (mehr als einen solch großen Winkel kann es ja nicht geben):

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1750 hat Th. Simpson gezeigt, dass die Strecken \(AA_k\), \(BB_k\) und \(CC_k\) durch einen gemeinsamen Punkt, und zwar den nach Fermat bzw. Torricelli benannten gehen. Wir beweisen das (und noch ein bisschen mehr) nach Coxeter und Greitzer ("Geometry Revisited", deutsch "Zeitlose Geometrie"). Hinweis: Dort steht das im Kapitel über Drehungen.

Beweis zur Aussage von Simpson

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Wir gehen nur von dem Dreieck \(ABC\) und den angebauten gleichseitigen Dreiecken mit den neuen Ecken \(A_k\), \(B_k\) und \(C_k\) aus. Die beiden sich überlappenden grünen Dreiecke \(A_kAB\) und \(CC_kB\) sind um 60o um \(B\) gedreht und kongruent. Ihre langen Seiten \(AA_k\) und \(CC_k\) sind also gleich lang, sie schneiden sich in einem Punkt \(T_1\), der in den grün getönten Flächen 4 Winkel von je 60o um sich hat, in der gelben hat er also die restlichen 120o.

(Von den vier Winkeln sind die beiden "hellgrünen" leicht als 60o zu erkennen; hier findet sich der Drehwinkel der genannten Drehung wieder. Die beiden "dunkelgrünen" Winkel erfordern etwas mehr Denkarbeit; Coxeter und Greitzer argumentieren damit, dass die Winkel \(A_kBC\) und \(A_kT_1C\) beide 60o sind, also gibt es einen Kreis durch \(A_k\), \(B\), \(T_1\) und \(C\) (in dem die genannten Winkel Umfangswinkel über der Sehne \(A_kC\) sind), also ist \(A_kBT_1C\) ein Sehnenviereck, und das liefert die Aussage, dass der Winkel \(A_kT_1B\) gleich 60o ist.)

Damit sieht \(T_1\) alle 3 Seiten des Dreiecks ABC mit je 120o und ist der von Fermat gesuchte und von Torricelli gefundene Punkt.

Wir wissen also nun, dass sich die 3 Strecken \(AA_k\), \(BB_k\) und \(CC_k\) in einem (und zwar dem schon bekannten) Punkt schneiden (Simpson) und außerdem noch, dass sie gleich lang sind, wie F. Heinen 1834 gefunden hat.

Dieser hat aber auch noch gezeigt, dass jede von ihnen so lang ist wie die drei Abstände des Torricelli-Punktes von den Ecken zusammen. Tipp: Auch hierzu drehen wir wieder etwas um 60o, und zwar diesmal ein gleichseitiges Dreieck, das wir aber noch zusammenbauen müssen.

Beweis zum Satz von Heinen

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Das erwähnte gleichseitige Dreieck ist \(T_1DA_k\), man bekommt es durch Drehen von \(T_1CA_k\) um 60o nach \(DBA_k\).

Dieser kleine Trick kommt auch an anderer Stelle als eigenständige Aufgabe vor, vielleicht erkennen Sie ihn ja wieder (ich erwähne das nur, um anzudeuten, dass es mir nicht entgangen ist).

Zum Schluss noch einige Hinweise: Der nach Fermat bzw. nach Torricelli benannte Punkt hat etwas mit gleichen Winkeln zu tun und heißt daher "isogonaler Punkt", und zwar mit der Ordnungszahl 1, weil es noch einen zweiten gibt. Den findet man nämlich, wenn man die gleichseitigen Dreiecke nicht außen anbaut, sondern nach innen klappt, wobei sie sich dann mehr oder weniger gegenseitig und mit dem Ausgangsdreieck überlappen, was weniger hübsch aussieht und darum die Nummer 2 bekommt.

Dass die Strecken \(AA_k\) usw. sich in einem Punkt treffen, gilt auch für andere gleichschenklige Dreiecke mit gemeinsamen Basiswinkeln an Stelle der gleichseitigen. Variiert man diesen Basiswinkel, so wandert der Schnittpunkt auf der nach Kiepert benannten rechtwinkligen Hyperbel, auf der auch die Ecken des Dreiecks, der Höhenschnittpunkt und der Schwerpunkt liegen.

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