Hemmes mathematische Rätsel: Finden Sie die kleinstmöglichen Fakultäten?
Die Jahreszahl 2022 kann durch einen Bruch aus Fakultäten ausgedrückt werden.
\( 2024=\frac{z_1!\bullet z_2!\bullet z_3!\bullet\ldots}{n_1!\bullet n_2!\bullet n_3!\bullet\ldots} \)
Dabei sollen die größte Fakultät in Zähler z1! und die größte Fakultät im Nenner n1! so klein wie möglich sein. Wie groß sind z1 und n1?
Die Primfaktoren der Jahreszahl sind 2022 = 2 ∙ 3 ∙ 337. Damit die Primzahl 337 im Zähler des Bruches vorkommt, ist der kleinstmögliche Wert der größten Fakultät z1 = 337!. Die zweitgrößte Primzahl, die z1 = 337! enthält, ist 331. Um sie aus dem Zähler kürzen zu können, ist der kleinstmögliche Wert der größten Fakultät im Nenner n1 = 331!. In dem Bruch 337!/331! = 337 ∙ 336 ∙ 335 ∙ 334 ∙ 333 ∙ 332 fehlen für die Jahreszahl 2022 noch die Faktoren 2 und 3 und sind die Faktoren 332 bis 336 zu viel. Damit man Letztere loswird, aber keiner davon größer als 331 ist, zerlegt man sie. Dafür gibt es eine ganze Reihe von Möglichkeiten. Eine davon ist 336 ∙ 335 ∙ 334 ∙ 333 ∙ 332 = (2 ∙ 168) ∙ (5 ∙ 67) ∙ (2 ∙ 167) ∙ (3 ∙ 111) ∙ (2 ∙ 166) = 168 ∙ 167 ∙ 166 ∙ 111 ∙ 67 ∙ 20 ∙ 3 ∙ 2. Da immer m!/(m – 1)! = m ist, gilt nun:
\( 2022=\ \frac{337!\bullet167!\bullet166!\bullet165!\bullet110!\bullet66!\bullet19!}{331!\bullet168!\bullet167!\bullet166!\bullet111!\bullet67!\bullet20!}=\frac{337!\bullet165!\bullet110!\bullet66!\bullet19!}{331!\bullet168!\bullet111!\bullet67!\bullet20!}\ \)
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