Hemmes mathematische Rätsel: Finden Sie zwei geeignete Zahlen?
Im Februar 1961 erschien die erste Ausgabe der Zeitschrift »Recreational Mathematics Magazine«, die sich ausschließlich mit der Unterhaltungsmathematik befasste. Im ersten Heft steht eine hübsche kleine Aufgabe, die von H. V. Gosling stammt:
Finden Sie zwei positive ganze Zahlen m und n, unter deren Ziffern keine einzige Null vorkommt und deren Produkt eine Milliarde beträgt. Hat dieses Problem eine Lösung? Und wenn ja, wie viele verschiedene Lösungen gibt es, und wie lauten sie?
Jede positive ganze Zahl lässt sich auf nur eine einzige Art in ein Produkt von Primzahlen zerlegen. Diese Primfaktoren sind bei sehr großen Zahlen manchmal nicht leicht zu finden, bei einer Milliarde jedoch ist dies kein großes Problem: 1000 000 000 = 109 = (2 · 5)9 = 29 · 59.
Die Primfaktoren von einer Milliarde sind also neun Zweien und neun Fünfen. Um die gesuchten Zahlen n und m zu finden, muss man diese 18 Primzahlen in zwei Gruppen teilen. Enthält jetzt eine Gruppe wenigstens eine 2 und eine 5, so endet das Produkt auf jeden Fall mit einer Null, denn damit ist der Faktor 2 · 5 = 10 enthalten. Wenn also n und m nicht auf Nullen enden sollen, so müssen die Zweien und Fünfen streng getrennt bleiben.
Es gibt folglich nur eine Kombination für eine mögliche Lösung: 29 und 59. Multipliziert man diese Potenzen aus, so stellt man fest, dass sie tatsächlich keine Nullen besitzen und somit die Lösung des Problems sind: 512 · 1953 125 = 1000 000 000.
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