Man kann das Viereck auf zwei Arten in zwei Dreiecke zerlegen.

Der Flächenschwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden:

Ein ebenes Viereck kann in zwei Dreiecke geteilt werden, indem man zwei diagonal gegenüberliegende Punkte verbindet. Das kann auf zwei verschiedene Arten geschehen (blaue Geraden).

Die roten und grünen Geraden kennzeichnen die Seitenhalbierenden der Dreiecke (rot und grün für die beiden möglichen Aufteilungen). Deren vier Schwerpunkte sind die dick gezeichneten roten bzw. grünen Punkte. Der Schwerpunkt des Vierecks muss auf den beiden Verbindungen der roten bzw. grünen Schwerpunkte liegen (lila).

Die Anregung zu dieser Frage kam durch eine E-Mail, in der ich gefragt wurde, wie man (geometrisch) den Schwerpunkt eines leicht konischen Laternenmastes finden kann, der als Schranke verwendet werden soll. Was hat der Schwerpunkt einer Vierecksfläche damit zu tun?

Über die Wandstärke des Mastes nehmen wir an, dass sie überall gleich ist und klein gegen den (nicht überall gleichen) Rohrdurchmesser. Würde man das Rohr wie Lauch in dünne Scheiben schneiden, bekäme man Kreisringe. Wenn man ihn aber in viele lange Streifen schneidet, gibt es in guter Näherung Trapeze, deren Höhe die Länge des Rohres ist. Da der gesuchte Schwerpunkt sicher in der Achse des Rohres liegt, interessiert uns seine Entfernung vom dicken (oder vom dünnen) Ende des Mastes. Das läuft auf die Suche nach dem Flächenschwerpunkt eines Trapezes hinaus: Der ist im Wesentlichen auf die gleiche Art zu konstruieren wie im allgemeinen Viereck – abgesehen davon, dass man beim gleichschenkligen Trapez noch die Symmetrie benutzen kann: Der Schwerpunkt muss auf der Symmetrieachse liegen, was einem etwas Konstruktionsarbeit erspart.

Obwohl der Absender der E-Mail ausdrücklich keine experimentelle Lösung gewünscht hat, würde ich beim Bau der Schranke dazu raten: Es ist nicht nur viel einfacher, sondern befreit auch von der Frage nach der Gleichmäßigkeit der Wandstärke. Aber das ist für eine Denksportaufgabe natürlich viel zu einfach.