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Fußball als Glücksspiel

Treitz-Rätsel

Wenn Alemannia Abbestadt gegen Borussia Besselstadt spielt, so sei p die (immer gleich bleibende!) Wahrscheinlichkeit, dass die Alemannen das nächste Tor schießen, 1–p also die für die Borussen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die bessere Mannschaft (also z. B. die Alemannen, falls p größer als 0,5 ist) gewinnt, wenn insgesamt 2, 3 bzw. 4 Tore fallen?

Geht das Spiel z. B. 1:2 aus, so können die Tore in folgenden Reihenfolgen geschossen worden sein: ABB, BAB, BBA. Das geschieht jeweils mit der Wahrscheinlichkeit p·(1–p)·(1–p), also insgesamt mit 3·p·(1–p)·(1–p).

Das Bild zeigt für 0 bis 5 Tore die Wahrscheinlichkeiten. Wenn z. B. die 1. Mannschaft langfristig 30% der Tore und die 2. die anderen 70% schießt, so ist bei der waagerechten Koordinate (p=) 0,3 zu suchen, und die Längen der Farben in der Vertikalen darüber zeigen die zu erwartenden Spielergebnisse bei den jeweiligen Gesamttorzahlen an.

So kann man leicht ablesen, dass bei 2 Toren und gleich guten Mannschaften die Wahrscheinlichkeit für Unentschieden 50% ist und für 0:2 und für 2:0 jeweils 25%, was ja auch so klar sein sollte, aber dass auch bei p=0,8, also deutlich besseren Fähigkeiten der Alemannen, die Borussen immer noch 4% Chance zum Gewinnen mit 2:0 haben. Um bei insgesamt zwei Toren mit 90-prozentiger Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, muss man offenbar (fast genau) im Verhältnis 70 zu 30 stärker als der Gegner sein. Das gilt auch für eine Gesamtzahl von 4 Toren.

Rechnerisch handelt es sich natürlich um Teilsummen aus der Binomialverteilung. Alle Kurven in den Diagrammen sind ziemlich einfache Polynome von der Ordnung der jeweiligen Gesamtzahl der Tore. Die Grenze zwischen Gewinner und Verlierer bzw. der Unentschieden-Streifen nähern sich für unbegrenzt große Torzahlen der Vertikalen bei p=0,5: dann, also sozusagen bei unendlich vielen Toren, ist es auch entsprechend sicher, dass die stärkere Mannschaft gewinnt.

Wegen der relativ geringen typischen Trefferzahlen eignet sich Fußball für Toto-Wetten, wogegen Tennis (wegen des sich zuspitzenden Zählmodus) und Basketball (wegen der hohen Trefferzahlen) für Kenner der Spielstärken wenig Überraschungen bringen.

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  • Quellen
Verschiedene Vorträge des unvergessenen Roman Ulrich Sexl in den 1980er Jahren, unter anderem über das Thema "Fußball und andere Glücksspiele".

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