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Hemmes mathematische Rätsel: Fuchs und Gans

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Der Amerikaner Martin Gardner (1914–2010) schrieb über ein Vierteljahrhundert lang für das Wissenschaftsmagazin Scientific American die Kolumne Mathematical Games, in der er unterhaltsam über die Mathematik berichtete und mathematische Spielereien und Knobeleien vorstellte. Gardner wurde weltbekannt, und jeden Monat lasen Hunderttausende begeistert seine Kolumne. Im März 1965 stellte seinen Lesern ein hübsches kleines Strategierätsel.

Bei dem Spiel »Fuchs und Gans« muss der Fuchs (Kreuz) versuchen, die Gans (Herz) zu fangen, und die Gans dem Fuchs aus dem Weg gehen. Die Skizze zeigt die Ausgangsstellung. Dazu machen die beiden immer abwechselnd einen Zug entlang einer Linie auf ein benachbartes Feld. Keine Figur darf einen Zug aussetzen. Der Fuchs beginnt. Er hat gewonnen, wenn er mit weniger als sieben Zügen das Feld der Gans erreicht. Ansonsten ist die Gans die Gewinnerin. Angenommen, beide Spieler spielen mit optimaler Strategie. Das heißt, der Fuchs versucht, so schnell wie möglich die Gans zu schlagen, und die Gans versucht, so lange wie möglich dem Fuchs aus dem Weg zu gehen. Wer wird das Spiel gewinnen?

Zunächst werden die Felder so gefärbt, wie es die Abbildung zeigt. Fuchs und Gans ändern mit jedem Zug die Farbe ihres Feldes. Da sie zu Anfang beide auf einem weißen Feld stehen und der Fuchs den ersten Zug macht, kann er nie ein Feld erreichen, das die gleiche Farbe hat wie das der Gans. Es gibt jedoch eine Ausnahme: Die beiden oberen grauen Felder sind durch eine Linie miteinander verbunden. An dieser Stelle kann der Fuchs die Abfolge der weißen und grauen Felder ändern. Er muss also zunächst einmal diese beiden Felder durchlaufen und dann erst Jagd auf die Gans machen. Auch wenn die Gans dem Fuchs so lange wie möglich ausweicht, so ist sie doch nach dem sechsten Zug des Fuchses geschlagen. Es gibt für die optimale Zugfolge mehrere Möglichkeiten. Hier ist ein Beispiel: F (C4), G (B1), F (D3), G (A1), F (C3), G (B1), F (C2), G (A1), F (B2), G (B1), F (B1).

Fuchs und Gans

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