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Gaswerk & Co.

Treitz-Rätsel

Eine der beliebtesten Aufgaben aller Sammlngen fragt nach kreuzungsfreien Leitungen in einer Fläche, in der drei Häuser jeweils mit dem Gaswerk, dem Elektrizitätswerk und dem Wasserwerk verbunden werden sollen. In der Ebene und auf der Kugel ist das Problem unlösbar, wenn man die Gebäude oder zumindest die Stellen darin, wo die Leitungen ankommen sollen, als punktförmig annimmt. Mit anderen Worten: Die Mathematiker meinen Punkte und reden von Häusern, von denen sie aber augenzwinkernd verlangen, dass sie wie Punkte zu behandeln sind. – Wenn es Ebene und sogar Kugel nicht bringen, so versuchen Sie es doch bitte mit einem (durchsichtigen) Möbiusband und mit einer Torusoberfläche, und wir setzen noch eins drauf: Es sollen 6 Punkte paarweise verbunden werden, also mit 15 Leitungen, die sich nicht kreuzen.

Das Möbiusband können Sie ganz einfach aus einem langen Papierstreifen zusammenkleben, einen Torus gibt es aus Styropor im Bastelgeschäft oder als Wurfgegenstand aus Gummi beim Sommerspielzeug.

Sie können aber auch eine Landkarte anfertigen, bei der einige Teile mehrfach enthalten sind (so wie auf Erdkarten, die alle Ozeane ungeteilt zeigen, Amerika doppelt vorhanden ist). Beim Möbiusband ist der Trick nun, dass diese Fortsetzungen an zwei Seiten umgekehrt sein müssen, und beim Torus, dass ein Rechteck (oder Quadrat) nach allen Seiten wiederholt gezeichnet wird.

Lösung für den Torus

Die gelbe Fläche ist eine Karte des ganzen Torus, sie ist nach allen vier Seiten wiederholt, so dass man auch die Leitungen leicht zeichnen kann, die über den (völlig willkürlich gewählten!) Rand des gelben Bildes hinaus gehen. Sie können nun leicht nachsehen, dass jeder Punkt mit jedem verbunden ist. Die Hälfte der senkrechten Leitungen ist sogar überzählig, aber dafür ist das Bild doch überraschend symmetrisch. Ich gebe zu, dass ich vorher mit ganz hässlichen Bildern herumgewurstelt habe.

Wenn Sie nur die Lösung für das Gaswerk usw. haben wollen, können Sie die Leitungen zwischen A, B und C und die zwischen D, E und F weglassen. Von den 15 bleiben also nur 9 übrig. Ob Sie dann A, B und C die Häuser und C, D und F die Versorgungswerke nennen oder umgekehrt: Darauf kommt es nicht an.

Lösung für das Möbiusband

Die gelbe Fläche ist eine Karte des ganzen Möbiusbandes, das man sich aber von unten nach oben viel länger vorstellen muss, damit das Papier sich leicht verdrehen lässt. Oben und unten sind Fortsetzungen gezeichnet, aber beachten Sie die Links-Rechts-Umkehr dabei, ohne die das Problem nicht lösbar wäre. Sie können nun leicht nachsehen, dass jeder der 6 Punkte mit jedem anderen verbunden ist.

Man könnte die Verbindungen von C nach A noch überzähligerweise symmetrisch verdoppeln, dann wäre das Leitungsnetz hochsymmetrisch, bei Beachtung der Nummerierung der Punkte hat das Ganze aber "nur" eine Gleitspiegel-Symmetrie.

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  • Quellen
Martin Gardner fragte im Dezember 1968 im Scientific American nach einer Lösung für das Möbiusband und gab sie im Januar 1969.

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