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Hemmes mathematische Rätsel: Geburtstagsteiler

Zwei Personen unterhalten sich: »Die Zahl deiner Lebensjahre hat viele Teiler, mindestens 10. Aber mein Alter hat noch mehr Teiler.« Wie alt sind die beiden?
Zahlen

Das heutige Rätsel hat Friedhelm Kerres aus Aachen erdacht und erstmals 2006 in der Aachener Zeitung und den Aachener Nachrichten veröffentlicht.

In einer Software-Firma gratuliert ein Mathematiker einem Kollegen zum Geburtstag: »Die Zahl deiner Lebensjahre hat viele Teiler, mindestens zehn. Aber mein Alter hat noch mehr Teiler. Als Liebhaber abstrakter Aufgaben wirst du ausrechnen können, wie alt ich bin.« Wie alt sind die beiden Männer? Als Teiler einer Zahl gelten dabei nur positive ganzzahlige Teiler einschließlich der 1 und der Zahl selbst.

Eine Lösungsmöglichkeit ist, für alle in Frage kommenden Alter bis zum Rentenalter von 65 die Teiler zu bestimmen. Das ist zwar einfach, aber langwierig.

Deutlich schneller geht es mit elementarer Zahlentheorie. Drückt man eine natürliche Zahl N als Produkt von Potenzen ihrer Primfaktoren N = Ai · Bj · Ck · Dl · … aus, beträgt die Anzahl ihrer Teiler (i + 1) · (j + 1) · (k + 1) · (l + 1) · …

Da das Produkt der vier kleinsten Primzahlen bereits 2 · 3 · 5 · 7 = 210 beträgt, können höchstens drei verschiedene Primzahlen an den beiden Alterszahlen beteiligt sein. Es müssen aber auch mindestens zwei verschiedene Primzahlen sein, da 26 = 64 nur sieben Teiler hat.

Bei drei Primfaktoren erhält man als teilerreichste in Frage kommende Zahl nur 60 = 22 · 31 · 51 mit zwölf Teilern, weil mindestens ein Exponent größer als 1 sein muss.

Bei zwei Primfaktoren ist die größte und einzige in Frage kommende Zahl 48 = 24 · 31 mit zehn Teilern. Alle anderen Zahlen unter 65 haben weniger Teiler. Folglich sind die beiden Männer 48 und 60 Jahre alt.

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