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Gemischte Doppelpyramide

Treitz-Rätsel

Eine Pyramide mit 4 gleichseitigen Dreiecken und einem Quadrat als Flächen und ein regelmäßiges Tetraeder mit der gleichen Kantenlänge werden mit einem vollen Dreieck als wechselseitiger Kontaktfläche aneinander geklebt. Wie viele Flächen, Kanten und Ecken hat das entstehende Polyeder?

Wenn die beiden Pyramiden 5 und 4 Flächen haben und beim Kleben je eine verschwindet, bleiben 7 übrig. Es sei denn, einige der Flächen stoßen ohne Knick aneinander und verschmelzen damit zu einer größeren. Aber danach sieht es doch nicht aus, oder?

Und trotzdem ist es so, und es wird völlig klar, wenn man von einem Tetraeder an den Ecken kleinere Tetraeder, nämlich mit den halben Kantenlängen, abschneidet und schaut, was übrig bleibt: ein Oktaeder der gleichen (also halbierten) Kantenlänge. Unsere Pyramide mit dem Quadrat ist gerade eine Hälfte von einem solchen Oktaeder (das ja deswegen auch auf den Spitznamen "Doppelpyramide" hört, vor allem bei Leuten, die bei Pyramiden nur an Ägypten denken).

Unsere Figur ist ein schiefes Prisma mit zwei gleichseitigen Dreiecken (sozusagen Boden und Deckel), einem Quadrat und zwei Rauten, also insgesamt nur 5 Flächen. Sie hat 6 Ecken und 9 Kanten. Ihr Volumen ist 3/8 des Volumens des großen Tetraeders, die beiden Bauteile tragen im Verhältnis (1/3):(2/3) dazu bei.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Heinrich Hemme berichtet in seinem Buch "Das Hexeneinmaleins", dass die Frage in den USA jahrelang in einem landesweiten Test zur Erlangung von Stipendien mit der falschen Soll-Lösung benutzt wurde, bis ein hartnäckiger Teilnehmer auf der richtigen Antwort bestand. Es ist mir nicht bekannt, wie vielen Teilnehmern bis dahin ein Stipendium verweigert wurde, weil sie schlauer waren als die Prüfer.

Es gehört zu den schlimmsten Nachteilen schriftlicher (und unpersönlich ausgewerteter) Tests, dass die Prüfer nichts dazulernen können. Bei einer mündlichen Prüfung oder bei persönlicher Bekanntschaft zwischen den beteiligten Personen könnte wenigstens mal jemand stutzig werden, wenn eine als falsch angenommene Antwort kommt.

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