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Hemmes mathematische Rätsel: Getreideteilung

Ein Hausherr verteilt 20 Scheffel Getreide unter den 20 Mitgliedern seiner Familie. Dabei bekommt jeder Mann drei Scheffel, jede Frau zwei Scheffel und jedes Kind einen halben Scheffel. Aus wie vielen Männern, Frauen und Kindern besteht die Familie?
Getreide

Im 9. Jahrhundert entstand im Frankenreich ein Manuskript mit dem Titel »Propositiones ad acuendos iuvenes« (Aufgaben zur Schärfung des Geistes der Jugend). Es ist die älteste mathematische Aufgabensammlung in lateinischer Sprache. Der Autor dieses Manuskripts ist unbekannt, aber es spricht vieles dafür, dass es von Alkuin von York (circa 732–804) geschrieben wurde, einem englischen Gelehrten, der von 781 bis 796 am Hof Karls des Großen in Aachen lebte und die letzten acht Jahre seines Lebens Abt des berühmten Klosters St. Martin in Tours in Frankreich war. Die »Propositiones« bestehen aus 56 Aufgaben, von denen die meisten zur Unterhaltungsmathematik gehören. Sie waren im Mittelalter in ganz Europa verbreitet und sind in 13 Manuskripten aus dem 9. bis 15. Jahrhundert erhalten geblieben. Bei der 32. Aufgabe »Propositio de quodam patrefamilias distribuente annonam« geht es um die Verteilung von Getreide.

Ein Hausherr verteilt 20 Scheffel Getreide unter den 20 Mitgliedern seiner Familie. Dabei bekommt jeder Mann drei Scheffel, jede Frau zwei Scheffel und jedes Kind einen halben Scheffel. Aus wie vielen Männern, Frauen und Kindern besteht die Familie?

Bezeichnet man die Anzahl der Männer mit M, die der Frauen mit F und die der Kinder mit K, so gilt für die Personenzahlen M + F + K = 20 und für die verteilten Scheffel Getreide 3M + 2F + K/2 = 20.

Stellt man die erste Gleichung nach K um und setzt sie in die zweite ein, erhält man nach einigen Umformungen F = 5(4 − M)/3.

Da 5 nicht durch 3 teilbar ist, wird F nur dann ganzzahlig, wenn der Klammerausdruck ein Vielfaches von 3 ist. Dies ist aber nur für M = 1 Mann und für M = 4 Männer möglich. Daraus folgt, dass in der Familie F = 5 Frauen und K = 14 Kinder bzw. F = 0 Frauen und K = 16 Kinder leben.

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