Hemmes mathematische Rätsel: Gibt es pythagoreische Tripel dieser Art?
Pythagoreische Tripel sind Dreiergruppen a, b und c von natürlichen Zahlen, für die die Beziehung a2 + b2 = c2 gilt. Das bekannteste Beispiel dafür ist 32 + 42 = 52. Gibt es auch reziproke pythagoreische Tripel, also Dreiergruppen a, b und c von natürlichen Zahlen, für die die Beziehung 1/a2 + 1/b2 = 1/c2 gilt? Und wenn ja, welches reziproke pythagoreische Tripel hat den kleinsten Wert für c?
Bilden die natürlichen Zahlen a, b und c ein pythagoreisches Tripel und teilt man beide Seiten der Gleichung a2 + b2 = c2 durch a2b2c2, erhält man a2/(a2b2c2) + b2/(a2b2c2) = c2/(a2b2c2) oder 1/(bc)2 + 1/(ac)2 = 1/(ab)2. Das pythagoreische Tripel mit den kleinsten Werten für a und b sind die Zahlen 3, 4 und 5. Damit ist auch das kleinste mögliche Produkt ab = 3 ∙ 4. Folglich bilden die Zahlen 20, 15 und 12 das reziproke pythagoreische Tripel mit dem kleinsten Wert für c: 1/202 + 1/152 = 1/122.
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