Hemmes mathematische Rätsel: Gibt es vierstellige Quadratzahlen der Form AABB?
Mathematikolympiaden haben in Russland eine lange Tradition. Das heutige Rätsel ist eine Aufgabe einer alten sowjetischen Mathematikolympiade.
Gibt es vierstellige Quadratzahlen, die die Form AABB haben, also deren erste und zweite Ziffer gleich sind und deren dritte und vierte Ziffer auch gleich sind? Dabei darf A nicht 0 sein.
Da √1000 = 31,62… und √9999 = 99,99… beträgt, ist die kleinste vierstellige Quadratzahl 322 = 1024 und die größte ist 992 = 9801.
Die Quadratzahl AABB hat die Größe 1000A + 100A + 10B + B = 1100A + 11B = 11(100A + B) ist somit durch 11 teilbar.
Folglich hat Quadratzahl die Form (11n)2. Es bleiben also für 11n nur die Kandidaten 33, 44, 55, 66, 77, 88 und 99 übrig, die man schnell überprüfen kann. Dabei findet man als einzige Lösung 882 = 7744.
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