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Gleiche Lotsummen

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Beweisen Sie: Wenn man von den Ecken eines regelmäßigen Polygons die Lote auf irgendeinen Durchmesser seines Umkreises fällt, so sind die Summen ihrer Längen auf beiden Seiten des Durchmessers gleich.

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Schwerpunkt.

Mit dem Tipp ist eigentlich alles gesagt: Der Durchmesser geht durch den Schwerpunkt der Ecken (nämlich den Mittelpunkt des Umkreises), und wenn man sich in jeder Ecke eine gleich schwere Punktmasse vorstellt, so müssen die Summen der Abstände zu beiden Seiten der Schwerlinie (nämlich dem Durchmesser) gleich sein.

Die Aufgabe und mehrere Lösungen von wesentlich größerem Aufwand habe ich als Problem Nr. 122 im American Mathematical Monthly 7 (1900) auf den Seiten 40–41 und 75 gefunden. Die relativ einfachste entspricht rechnerisch der Schwerlinienbestimmung, erwähnt aber auch nicht das Stichwort, das alles so einfach macht. Eine andere schlägt sich mit der "well-known formula of the difference of two cosines" herum.

Nun muss man fairerweise zugeben, dass meine Schwerpunkt-Argumentation gewissermaßen physikalisch ist oder andererseits eine Menge (wenn auch einfacher) Mathematik in sich einschließt.

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