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Hemmes mathematische Rätsel: Heim- und Auswärtsspiele

Wie viele der 18 Bundesligamannschaften können in einer Saison alle ihre 34 Spiele immer abwechselnd zu Hause oder auswärts austragen?
Nach dem Spiel gehen siegreiche Mannschaften gerne in die Fankurve, um sich feuern zu lassen.

Reinhard Heuermann wurde 1959 geboren und lebt in der Krummhörn. Er studierte Technische Informatik an der Fachhochschule Ostfriesland, die heute Hochschule Emden/Leer heißt. Dort ist seit 1990 wissenschaftlicher Mitarbeiter. Heuermann hat in den letzten Jahren zahlreiche Knobeleien erfunden. Im Mai 2011 stellte er in einem Denksportforum im Internet eine Aufgabe über den Profifußball.

In der Fußball-Bundesliga spielt jede Mannschaft im Verlauf einer Saison zweimal gegen jede andere Mannschaft, einmal zu Hause und einmal auswärts. Das jeweils erste Spiel zweier Mannschaften findet immer in der Hinrunde und das zweite in der Rückrunde statt. Die Reihenfolge der Partien ist in beiden Runden gleich. In der Regel trägt eine Mannschaft ihre Heim- und ihre Auswärtsspiele immer abwechselnd aus. Da aber jede Mannschaft irgendwann gegen jede andere antreten muss, kann es durchaus passieren, dass Mannschaften hin und wieder zweimal direkt nacheinander zweimal zu Hause oder zweimal auswärts spielen müssen.

Wie viele der 18 Bundesligamannschaften können in einer Saison alle ihre 34 Spiele immer abwechselnd zu Hause oder auswärts austragen? Dabei spielt es keine Rolle, ob die Saison mit einem Heim- oder Auswärtsspiel begonnen wird.

Angenommen, die Mannschaft A spielt am ersten, dritten, fünften und allen anderen ungeraden Spieltagen zu Hause und an den geraden Spieltagen auswärts, und bei der Mannschaft B ist es genau umgekehrt. Treffen diese beiden Mannschaften aufeinander, kann es nur für die eine Mannschaft ein Heimspiel und für die andere ein Auswärtsspiel sein. Eine dritte Mannschaft C, die auch immer abwechselnd zu Hause und auswärts spielt, trifft irgendwann in der Hinrunde auf die Mannschaften A und B. Hat sie die Saison mit einem Heimspiel begonnen, müssten bei dem Treffen mit A beide Mannschaften zu Hause oder beide auswärts spielen, und hat sie die Saison mit einem Auswärtsspiel begonnen, müssten bei einem Treffen mit B beide Mannschaften zu Hause oder auswärts spielen. Beide Fälle sind aber unmöglich. Darum können höchstens zwei Mannschaften immer abwechselnd zu Hause und auswärts spielen.

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