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Hilberts Hotel

Treitz-Rätsel

David Hilbert hat sich eine "Veranschaulichung" des Unterschiedes von abzählbar unendlich vielen und nicht abzählbar unendlich vielen Objekten ausgedacht. Es handelt sich um ein Hotel mit so vielen Zimmern, wie es natürliche Zahlen gibt, also "abzählbar unendlich vielen". Natürlich sind die Zimmer nummeriert.

Nun sind eines Tages (oder Nachts) alle Zimmer belegt, aber es kommt noch ein Gast und fragt nach einem freien Zimmer. Wie kann Hilbert ihm helfen?

Verschärfung des Problems: Was kann man tun, wenn

  • ein Bus mit 30 Gästen
  • ein Bus mit abzählbar unendlich vielen Gästen
  • abzählbar unendlich viele Busse mit jeweils abzählbar unendlich vielen Gästen
eintreffen?

Für den einen Gast schaltet Hilbert ein Mikrofon ein, mit dem er alle Zimmer erreichen kann, und bittet alle Gäste, in das Zimmer mit der jeweils um 1 höheren Nummer umzuziehen. Dadurch wird Zimmer Nr. 1 frei und kann vom neuen Gast belegt werden.

Die 30 Buspassagiere bringt Hilbert unter, indem er alle Gäste bittet, um 30 Nummern weiter zu ziehen.

Wenn der Bus mit den abzählbar unendlich vielen neuen Gästen eintrifft, bittet Hilbert die vorhandenen Gäste, in die Zimmer mit der jeweils doppelt so großen Nummer umzuziehen. So werden abzählbar unendlich viele Zimmer (nämlich die mit den ungeraden Nummern) frei, und das reicht für die unendlich vielen neuen Gäste aus dem Bus.

Aber es kommt noch schlimmer: Es kommen abzählbar unendlich viele Busse mit je abzählbar unendlich vielen Insassen und wollen alle in das Hotel. Geht das auch noch?

Selbst für die "unendlich hoch 2" Gäste aus den unendlich vielen Bussen müssen die vorhandenen Gäste nur in die Zimmer mit der jeweils doppelten Nummer wandern. Die Leute aus den Bussen werden in einem Diagonalverfahren eingefädelt: Zuerst der 1. aus dem 1. Bus, dann die beiden, bei denen die Summe aus Nummer des Busses und Nummer des Platzes in ihrem jeweiligen Bus 3 ist, dann die 3, für die diese Summe 4 ist, und immer so weiter.

So kann man also "alle" Paare (und ebenso Tripel und n-Tupel mit einer beliebigen natürlichen Zahl n) aus den abzählbar unendlich vielen natürlichen Zahlen nummerieren, also ein-eindeutig diesen natürlichen Zahlen zuordnen! Als Paare natürlicher Zahlen (oder ganzer Zahlen, was hier knapp einen Faktor 4 ausmacht) kann man z. B. die Gitterpunkte in einer Ebene oder die rationalen Zahlen (bei denen einige doppelt erfasst werden) beschreiben.

Nun kommen die Pfadfinder.

Jeder hat eine Mitgliedsnummer aus abzählbar unendlich vielen Dezimalziffern. Zu jeder solchen Nummer gibt es genau einen Pfadfinder, und es kommen alle. Was sagt Hilbert nun?

Hier muss der Hoteldirektor klein beigeben: Er kann nur abzählbar unendlich viele Pfadfinder aufnehmen, es müssen daher fast alle draußen bleiben, nämlich alle bis auf abzählbar unendlich viele. Anders gesagt: die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner von ihnen ins Hotel kann, ist kleiner als jede positive Zahl, also 0.

Wir können uns die Mitgliedsnummern als nicht abbrechende Dezimalbrüche vorstellen. Wenn sie nicht periodisch werden, sind es irrationale Zahlen wie zum Beispiel \(\sqrt2\). Die Punkte auf einer Strecke sind nicht abzählbar, und die auf einer Fläche oder einem Volumen auch (erst recht?) nicht. Das bedeutet: Bei jedem Versuch, die Punkte mit natürlichen Zahlen zu kennzeichnen, bleiben welche übrig (sogar die allermeisten), und zwar nicht nur am "oberen Ende".

Die Mathematiker meinen die Begriffe "abzählbar" usw. ganz ernst. Trotzdem ist die Geschichte mit dem Hotel eher absurd, oder?

Als Physiker neige ich dazu, mit dem Wort "unendlich" vorsichtig umzugehen und es als saloppe Redeweise zu verstehen für Aussagen der Art: Zu jeder endlichen Zahl mit dieser oder jener Eigenschaft gibt es noch eine größere mit der gleichen Eigenschaft. Das nennen die Philosophen das "potenziell Unendliche" und gehen damit etlichen Paradoxien des Unendlichkeitsbegriffs aus dem Weg.

Im Rahmen widerspruchsfreier Aussagensysteme kann das funktionieren. Auf reale Objekte angewendet, ist das äußerst zweifelhaft: Ist jedes Ei von einer Henne gelegt worden, und ist jede Henne aus einem Ei geschlüpft? Wir sind ziemlich sicher, dass es vor 10 Milliarden Jahren weder Eier noch Hennen gab und dass hierbei auch keine geometrische Reihe unendlich viele Generationen in endlicher Zeit gestattet. Für die ähnlich ferne Zukunft würde ich in dieser Hinsicht auch keine Hand ins Feuer legen (selbst wenn ich weit überdurchschnittlich viele Hände hätte).

Im Grunde ist Hilberts Hotel ein Scherz, vergleichbar mit Rätsellösungen oder Witzen, in denen negative Zahlen von Kokosnüssen vorkommen oder Hörsäle, die wieder leer sind, wenn 3 Leute hineingehen.

Der Scherz besteht aber nicht darin, die beiden Sorten von Unendlichkeit zu diskutieren, etwa die merkwürdige Aussage, dass es in einem gewissen Sinne unter den natürlichen Zahlen "ebenso viele" ganze wie gerade Zahlen gibt, sondern in der Anwendung dieser Mathematik auf Dinge wie Hotels mit naturnotwendig endlich vielen Zimmern, bei denen es stets weniger mit gerader als mit ganzzahliger Nummer gibt.

Übrigens ist 101000 im Sinne der Mathematik eine "natürliche Zahl", aber es ist doch eher zweifelhaft, ob sie in der Natur vorkommt, so wie es zum Beispiel die Zahl 24 – oder auch 24/3 – tut. Auch die Bezeichnungen anderer Zahlentypen (rational, reell, transzendent) sind nur unter jeweils einem ganz bestimmten Blickwinkel zu rechtfertigen.

David Hilbert lebte von 1862 bis 1943 und gilt als einer der größten Mathematiker des 19. und 20. Jahrhunderts.

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