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Höhensummen

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Zeichnen Sie bitte ein konvexes gleichseitiges Fünfeck, wählen Sie einen beliebigen Punkt in seinem Inneren und addieren Sie die Abstände dieses Punktes von den fünf Seiten (bzw. deren Verlängerungen). Warum hängt das Ergebnis nur vom Fünfeck und nicht von der Wahl des Punktes darin ab?

Wie kann man die Fläche des Fünfecks bestimmen?

Teilen Sie das Fünfeck vom gewählten Punkt aus in 5 Dreiecke. Diese haben die 5 Abstände als Höhen und gleiche Grundseiten. Das Produkt aus dem halben Umfang des Fünfecks und der Summe dieser Höhen ist die Fläche des Fünfecks.

Wie kann man dieses Ergebnis verallgemeinern?

Das Polygon darf beliebig viele Seiten haben (die allerdings alle gleich lang sein müssen). Es muss konvex sein, aber nicht unbedingt regulär; gleiche Winkel sind nicht gefordert. Der Punkt muss innen liegen (andernfalls müsste man die Höhen, die außen liegen, negativ zählen).

Der Spezialfall für das Dreieck (das natürlich gleichwinklig ist, wenn es gleichseitig ist), ist der Satz von Viviani.

In drei Dimensionen nimmt man statt des Polygons ein beliebiges konvexes Polyeder mit lauter gleich großen Flächen. Dabei wird das Polyeder in Pyramiden mit gleich großen Grundflächen zerlegt, für die die Summe der Höhen durch das gesamte Volumen bestimmt ist.

Martin Gardner bringt den Spezialfall des Fünfecks in seinen "Magic Numbers", wobei er zur Erschwernis so tut, als gälte es nur für das Innere eines Pentagramms in einem regelmäßigen Fünfeck, als Quelle gibt er Victor Eigen an.

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