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Hemmes mathematische Rätsel: Hunters Quadrat

Können Sie das Quadrat so ausfüllen, dass die Summe der Zahlen in jeder Zeile, Spalte und in den Diagonalen je 111 ist?
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Der Mathematiker James Alston Hope Hunter (1902–1986) aus Toronto in Kanada hat ein halbes Dutzend Bücher mit selbst erfundenen mathematischen Denksportaufgaben veröffentlicht. Alle Probleme sind in kleine Geschichten gekleidet und oft sogar in Versform gebracht worden. Aus seinem 1965 erschienenem Buch »Hunter's Math Brain Teasers« stammt ein Rätsel über ein magisches Quadrat.

Ein magisches Quadrat N-ter Ordnung ist ein quadratisches Raster mit N×N Unterquadraten, auf die die Zahlen von 1 bis N2 so verteilt sind, dass die Summe der N Zahlen in jeder Zeile, in jeder Spalte und in den beiden Diagonalen jeweils gleich ist. Diese Summe bezeichnet man als die magische Konstante.

Hunters Quadrat

Das magische Quadrat 3. Ordnung ist das wohl bekannteste Quadrat. Es hat die magische Konstante 15 und war schon im 4. Jahrhundert v. Chr. in China unter dem Namen Loh-Shu bekannt. Nach chinesischer Überlieferung soll es bereits um 2800 v. Chr. gefunden worden sein, was aber vermutlich nicht stimmt.

In Hunters magischem Quadrat dürfen beliebige Zahlen in den Feldern stehen. Sie müssen nicht unbedingt ganzzahlig und auch nicht positiv sein, und sie brauchen auch nicht alle verschiedene Werte zu haben. Zwei Zahlen sind schon vorgegeben, und die magische Konstante muss 111 sein.

Füllen Sie die noch freien Felder des Quadrates korrekt aus.

Wir bezeichnen die neun Zahlen in den Feldern des magischen Quadrats mit den Buchstaben a bis i.

Hunters Quadrat

Die Summe der Zahlen aus der zweiten Zeile, der zweiten Spalte und der beiden Diagonalen ist das Vierfache der magischen Konstante: (d+e+f) + (b+e+h) + (a+e+i) + (c+e+g) = 4M. Die Summanden lassen sich auch etwas anders anordnen: (a+b+c) + (d+e+f) + (g+h+i) + 3e = 4M. Die drei Klammerausdrücke entsprechen den Zahlen der drei Zeilen und haben somit den Wert 3M. Setzt man dies in die Gleichung ein, vereinfacht sie sich zu 3M + 3e = 4M oder zu e = M/3. Die Zahl im Mittelfeld des magischen Quadrats dritter Ordnung beträgt also immer ein Drittel der magischen Konstante; dabei spielt es keine Rolle, ob die Zahlen ganzzahlig sind oder nicht, ob sie alle unterschiedlich sind oder nicht oder welche Vorzeichen sie besitzen.

Hunters Quadrat hat die magische Konstante 111. Folglich ist e = 37. Nun ist es sehr leicht, schrittweise die restlichen Zahlen zu finden, denn es gibt nach jedem Schritt Reihen, die schon zwei Zahlen enthalten und sich durch die dritte Zahl zu 111 ergänzen lassen.

Hunters Quadrat

Bis auf die 1 sind übrigens alle Zahlen in Hunters magischem Quadrat Primzahlen.

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