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Hemmes mathematische Rätsel: Ist das Palindrom durch 7 teilbar?

digitale Zahlen

Palindrome sind natürliche Zahlen, die von links nach rechts gelesen den gleichen Wert ergeben wie von rechts nach links gelesen. Aus der Menge der vierstelligen Palindrome 1001, 1111, 1221, …, 9999 wird eine Zahl zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Palindrom durch 7 teilbar ist?

Jedes vierstellige Palindrom hat die Form ABBA. Dabei steht A für eine Ziffer von 1 bis 9 und B für eine Ziffer von 0 bis 9. Somit gibt es insgesamt 9 ∙ 10 = 90 vierstellige Palindrome. Der Wert eines solchen Palindroms beträgt 1000A + 100B + 10B + A, was sich zu 1001A + 110B oder 11 ∙ (7 ∙ 13 ∙ A + 2 ∙ 5 ∙ B) umformen lässt. Das Palindrom ist also genau dann durch 7 teilbar, wenn B = 0 oder B = 7 ist. A hingegen darf jede Ziffer von 1 bis 9 sein. Dafür gibt es insgesamt 2 ∙ 9 = 18 Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, zufällig ein durch 7 teilbares Palindrom zu wählen, beträgt folglich 18/90 = 20 %.

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